Palabras clave: Enseñanza-aprendizaje, enseñanza, matemáticas, educación básica, formación de profesores.

Aunque la reforma propuso un cambio significativo en el enfoque de la enseñanza de las matemáticas para la educación primaria, que llevó incluso a diseñar nuevos libros de texto gratuito, como señala Llinares (1992), los cambios en la educación matemática se originan sólo en el currículum normativo. El profesorado filtra éste a través de sus esquemas mentales, que incluyen conocimientos matemáticos, concepciones y creencias sobre las matemáticas como disciplina, su percepción del proceso enseñanza-aprendizaje y otros aspectos relativos a su papel en el aula. En este mismo sentido, de acuerdo con Ernest (2000), los estudios empíricos han confirmado que las ideas, creencias y preferencias del profesorado sobre las matemáticas influyen en su manera de impartir clase.

Por otra parte, la contextualización juega un papel fundamental en la construcción de los conceptos y procedimientos matemáticos de los aprendices. Su importancia radica, según diferentes investigadores como Brousseau (1994), Charnay (1994), Carear, Carraher y Schliemann (1995), Nunes y Bryant (1996), en dotar a dichos conceptos y procedimientos de un significado, de un sentido. Para Brousseau (1994), por ejemplo, el docente debe trabajar a la inversa del científico, realizar primero una recontextualización y repersonalización del saber: buscar situaciones que den sentido al conocimiento por enseñar. De acuerdo con estos autores, muchas de las dificultades al enseñar matemáticas son causadas por el uso de contextos irrelevantes, poco significativos para el aprendiz.

Hemos escogido un contenido elemental del currículum de matemáticas para la educación primaria –el tema de la resta– como un medio para acercarnos a identificar las concepciones de los profesores sobre la enseñanza de las matemáticas. La enseñanza de la resta se presenta como un contenido matemático de gran interés para los propósitos de esta investigación, ya que constituye un tema donde se aprecia la resistencia de la escuela a los cambios promovidos desde las diferentes reformas del currículum de matemáticas para la educación primaria. Además, es uno de los temas de la educación matemática elemental que más se ha abordado en los programas de formación permanente del profesorado y que, sin embargo, en la práctica sigue siendo fuente de conflictos didácticos.

Un panorama general del campo de los estudios sobre concepciones, creencias y conocimiento profesional lo obtuvimos de los trabajos de Thompson, Teacher´s beliefs and concepcions: a synthesis of research (1992) y de Fennema y Loef, Teacher´s knowledge and its impact (1992). Así mismo, revisamos trabajos de autores como Llinares (1996), Llinares y Sánchez (1989), Carrillo (1998), Contreras (1999) y Flores (1998), quienes reportan creencias y concepciones de los profesores acerca de las matemáticas y su enseñanza.

La primera etapa de nuestra investigación, reportada en Martínez Silva (2001) es el antecedente más inmediato del presente trabajo. En ella pudimos avanzar en la construcción de un marco de referencia conceptual sobre el tema, así como en el diseño y validación de instrumentos de recogida de información que retomamos para esta segunda etapa del estudio.

Todo el trabajo de investigación ha tenido como objetivo fundamental estudiar las concepciones de los profesores de educación primaria sobre el aprendizaje y la enseñanza de la resta, particularmente sobre el papel de la contextualización en este proceso.

Las preguntas que hemos querido responder a través de este estudio han sido las siguientes: ¿Qué concepciones tienen los profesores sobre la enseñanza de la resta?, ¿cuáles acerca del papel de la contextualización en el aprendizaje y la enseñanza de la resta?, ¿qué contenidos o aspectos de la resta enseñan los profesores?, ¿a qué aspectos le dan más importancia?, ¿por qué?; ¿qué situaciones o contextos utilizan los profesores para dar sentido o significado a la enseñanza de la resta?, ¿cómo se relacionan las concepciones de los profesores con los aspectos de la resta que enfatizan y con las situaciones didácticas que proponen?

Nuestra postura respecto al término concepciones, retoma las definiciones utilizadas por autores como Ruiz (1994, citado en Flores, 1998), Ponte (1994), Thompson (1992), Carrillo (1998), Contreras (1999), Fischbaun y Ajzen (1984), Moreno (2000), Furinghetti y Pehkonen (1999).

Para los propósitos de este trabajo se entenderá por concepciones el conjunto de representaciones internas evocadas por un concepto. Son las organizadoras implícitas de los conceptos, de naturaleza esencialmente cognitiva. Describen la naturaleza de los objetos matemáticos y las diferentes imágenes de éstos en la mente, ya sean simbólicos, gráficos, etcétera.

Las concepciones no sólo hacen referencia a la naturaleza de las matemáticas y de los objetos matemáticos, sino que también hay concepciones relacionadas con el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas. Para los objetivos de este trabajo se entenderá por concepciones sobre la enseñanza de la resta los posicionamientos asumidos por los profesores en relación con los fines, objetivos y contenidos de aprendizaje de la resta en la educación primaria; los roles del enseñante y el alumno; el tipo de actividad didáctica o proceso instruccional más apropiado; el papel asignado a la contextualización en el aprendizaje y la enseñanza de la resta.

Se entenderá por contextualización de la enseñanza de las matemáticas el proceso mediante el cual el profesor intenta establecer relaciones entre el conocimiento a enseñar y las situaciones de uso social de éste. Es decir, el proceso mediante el cual se utilizan situaciones reales de la vida cotidiana de los alumnos para construir ejercicios y problemas en la enseñanza de conceptos y procedimientos matemáticos.

• Trabajan en escuelas públicas de la zona conurbana de Monterrey, Nuevo León, México, de nivel socioeconómico bajo.
• Atienden a alumnos de 2º y 3º de primaria.
• La mayoría trabaja doble jornada.
• La mayoría no ha participado, en los últimos tres años, en ningún curso sobre educación matemática.
• El promedio de edad es de 45 años.
• El promedio de experiencia docente es de 24 años.

• La resolución de problemas de resta.
• El uso de procedimientos informales o no convencionales para resolver problemas de resta.
• Las dificultades en el aprendizaje del algoritmo convencional para restar.

a) Para los profesores la contextualización de la enseñanza de la resta debe hacerse a través del planteamiento y la resolución de problemas de enunciado escrito.

En el análisis de las respuestas al cuestionario abierto se encontró que 26 de las 29 situaciones propuestas por los profesores para enseñar el tema de la resta en la escuela pueden ubicarse en la categoría problemas de enunciado escrito, lo que equivale a 89% de las situaciones planteadas. Las tres situaciones restantes fueron ejercicios de cálculo numérico escrito (11%).

Es interesante observar que todas las situaciones propuestas por los profesores son referidas a problemas de enunciado escrito y ejercicios numéricos, y que el planteamiento de problemas y de ejercicios a través de otras vías de representación –gráfica, con dibujos o de manera concreta– están ausentes. Los resultados anteriores son análogos a los encontrados por Martínez Silva (2001) en la primera etapa de la investigación, en donde la mayoría de los problemas propuestos fueron de enunciado escrito (85.5%), en tanto que los presentados oralmente, a través de dibujo, tablas, gráficas o material concreto resultaron muy pocos.

En el CFP el problema de enunciado escrito surgió como prototipo de problema “razonado”:

[...] Ayer pasó un detalle, les puse a los niños un problema razonado: “Hay cupo en la escuela para 500 alumnos, se inscriben el lunes 220 personas en la escuela y el martes 170. Te dicen: ¿Hay cupo en la escuela?, ¿Cuántos faltan?” Ahí son dos operaciones. No restan, sólo uno lo sacó bien [J-DE2.77]. 1

[...] En primer año y en segundo, se hace con objetos que ellos puedan manipular... [Ma-DE2.20].

Pero ya en tercero tú tienes que quitarles eso porque los niños comienzan a llenar la libreta de rayitas y eso ya no se vale en tercero... tienes que quitarles esa costumbre [C-DE2.21].

Y que utilice material concreto....al principio [C-DE2.33].

Para los niños más pequeños el material concreto es indispensable para que adquiera el conocimiento [N-DE2.61].

–[...] Así como que le das una pista, “¿Cuánto dinero le sobró?”, de que va a ser una resta [C-DE6.13].

–Como que en la pregunta debe estar la palabra clave, para que sepan que es suma o resta ¿verdad? [Ma-DE6.14].

–Cambiar la pregunta ¿verdad?, por “¿Cuánto dinero le sobra?”,
¿verdad? [Ma-DE6.15].

–O “¿Cuánto dinero le queda?” [C-DE6.16].

–No, le sobra [Ri-DE6.17].

–Para que sepa que le van a dar…que es feria ¿no? [Ca-DE6.18].

–O “¿Cuánto dinero le regresan de feria?” Pero todavía quedaría más largo. Eso que le sobra es... [C-DE6.19].

–[...] Mira... manejan la palabra faltar, quitar, quedan. Son palabras clave que el muchacho puede entender [Ri-DE6.35].

–Sí. Sí entienden que le sobra. Yo me he fijado, al menos en mi grupo que ellos entienden mejor si les digo “¿Cuánto me sobra?”. Ya sabe que es quitándole la feria ¿verdad? [Ma-DE6.36].

–Es que para nosotros no, pero a lo mejor para los niños sí, es más fácil ¿Cuánto te sobró? [Ro-DG6.5].

–Yo digo que sí [es adecuada]. Que en los grupos sí se maneja así. Sí se manejan los dos conceptos con los niños. Simplemente en la casa les decimos: “¿Cuánto te quedó?”, “¿Cuánto dinero te quedó?” [N-DG6.6].

–Aparte de estas dos preguntas, ¿qué otra cosa podríamos preguntar? O más bien ¿qué podríamos preguntar? [M].

–¿Cuánto le regresaron de feria? [Ma-DG6.7].

–¿Alguna otra forma de plantearlo? [M].

–¿Cuánto dinero le dieron de cambio? [N-DG6.8].

[...] Luis tiene 185 canicas y perdió en el juego 62. ¿Cuántas canicas le quedaron?

[...] Luis tiene 36 canicas y Antonio 36 canicas, pero perdieron 24 canicas entre los dos. ¿Cuántas canicas les quedaron en total?

[...] Luis tenía 25 canicas. Si al jugar perdió 13 ¿Cuántas canicas le quedan ahora?

[...] En un florero hay 15 flores, en otro hay 7 ¿Cuántas flores le faltan al segundo para tener igual número?

[...] Quiero comprar un juguete que cuesta $48.00, si tengo ahorrados $25.00. ¿Cuánto me falta para completarlo?

[...] Luis tenía 25 canicas. Si al jugar perdió 13 ¿cuántas canicas le quedan ahora?

[...] Luis tenía 20 estampas. Si regaló 8 ¿cuántas le quedan?

[...] En un bote hay 25 canicas y sacaron 15. ¿Cuántas canicas quedan en el bote?

[...] Rubén quiere comprar un balón de 30 pesos y tiene ahorrados $20.00 ¿Cuánto le falta?

[...] Pepe colecciona cajetillas de cerillos. Tiene 12 y quiere tener 25. ¿Cuántas le faltan?

[...] Juan tiene 8 canicas y Pepe 3. ¿Cuántas le faltan para tener las mismas que Juan?

[...] Hugo tiene 18 años y Sergio tiene 6 años menos que Hugo. ¿Cuántos años tiene Sergio?

–[...] El problema pudo ser que el niño no leyó el problema con atención. No le puso atención al problema [C-DE2.1].

–Aquí es un problema de atención o de razonamiento. El niño sabe el procedimiento, acomoda las unidades debajo de las unidades y las decenas debajo de las decenas, pero lo único es que lo hizo sumando en lugar de restando [Ma-DE2.5].

–[...] El problema pudo ser que el niño no leyó el problema con atención. No le puso atención al problema [C-DE2.1].

–El niño no lo entendió, no lo leyó correctamente [C-DE2.29].

–Pero en ese caso, ¿ustedes por qué piensan que la niña en lugar de utilizar una resta utiliza una suma para resolver el problema? [M-DG2.7].

–Porque no leyó el problema, porque no comprendió el problema. Muchos niños antes de leer el problema ya los están resolviendo; oralmente sacan los números [Ma-DG2.8].

–[...] Yo digo que no es un problema de enseñanza. A los niños no se les va a enseñar que aquí tienes que restar o sumar, el niño tiene que saber por lógica, qué es lo que debe hacer [N-DE2.42].

–Yo insisto en que no es un problema de enseñanza, sino un problema de razonamiento. Yo estoy viendo que el niño no comprendió [N-DE2.46].

–[...] Decíamos que era eso, que el maestro no estaba utilizando los conocimientos previos del alumno, que no permite que el alumno plantee y resuelva problemas de resta, y no utiliza material concreto, y la recomendación es esa ¿verdad?, que utilice material concreto y que se base en el para la enseñanza de las matemáticas. Ahí está la base para que el alumno aprenda a resolver problemas [I-DG2.2].

–Yo digo que es un problema porque es un problema de un conocimiento que no trae el muchacho o que no trae y se presenta en lo lingüístico cuando no puede interpretar el texto y entonces aplica otro procedimiento. Y ¿a qué te obliga? a que te vas a regresar, te vas a detener en tu programación, y cuando llegas a los grados superiores es todavía mayor el problema, podemos ir a quinto y sexto y vemos que están batallando mucho [J-DG2.11].

En relación con el tipo de situaciones que deben plantearse a los niños en el proceso de enseñanza de la resta, encontramos ciertas inconsistencias. En algunos instrumentos los profesores consideran que se deben plantear a los niños, principalmente, problemas o situaciones reales representados con material concreto; en segunda instancia, problemas o situaciones representados a través de dibujos. Hasta aquí, esta postura coincide con el punto de vista de Carraher et al. (1995), quienes señalan la importancia de proponer a los alumnos situaciones cotidianas como contexto para la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, todas las situaciones propuestas por los profesores para enseñar a los niños el tema de la resta son referidas a problemas de enunciado escrito y ejercicios numéricos. El planteamiento de problemas y ejercicios a través de otras vías de representación –oral, gráfica, con dibujos o de manera concreta– está ausente.

La nula utilización de otras formas de representación en el planteamiento de situaciones matemáticas, tiene consecuencias didácticas importantes, ya que, como señalan Verschafel y De Corte (1997) y Vergnaud (1991), la representación juega un papel fundamental en el proceso de resolución de los problemas. Por ello, es necesario, por un lado, que los niños sean expuestos a situaciones o ejercicios representados a modo de narración oral, escrita, gráfica, con dibujos o de manera concreta; por el otro, que sean estimulados a utilizar diferentes formas de representarlos. Estos dos aspectos se complementan y permiten a los niños aprender a desarrollar estrategias más flexibles para la resolución de problemas muy diversos de matemáticas.

La información obtenida en relación con el tipo de problemas que sugieren los profesores para enseñar a los niños a restar, así como del uso de palabras clave como indicadores del tipo de operación que los niños han de utilizar para resolverlos, también tiene repercusiones didácticas importantes, dado el papel fundamental que tiene el planteamiento de problemas en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Es evidente que hay poca diversidad en cuanto al orden y la presentación de la información de los problemas, así como en el tipo de cálculo relacional implicado. El hecho de que los alumnos sean expuestos sólo a una o dos de las categorías de problemas propuestas por Vergnaud (1991), el uso de palabras clave y que el lugar de la incógnita sea generalmente la búsqueda de la medida final en el caso de los problemas de transformación, limita su desarrollo del cálculo relacional y los centra en el aprendizaje del cálculo numérico.

Las concepciones de los profesores respecto a las dificultades en el aprendizaje de la resta coinciden con dos de las tres grandes aproximaciones señaladas que, de acuerdo con Carraher et al. (1995), han explicado el fracaso escolar en el aprendizaje de las matemáticas. Para ellos, las dificultades de aprendizaje de los estudiantes son de distinta naturaleza: las relacionadas con el alumno, las que tienen qué ver con el proceso didáctico y las vinculadas a aspectos contextuales de la práctica. Sin embargo, se observa una tendencia a explicar los problemas de aprendizaje de los estudiantes para resolver las operaciones de resta en función de factores relacionados con el aprendiz.

De manera aún más general, podemos señalar que hemos encontrado coexistencia de profesores con concepciones tradicionales y profesores constructivistas sobre la enseñanza de la resta y de las matemáticas, en general. Además, se han presentado inconsistencias en las concepciones de los profesores, por ejemplo, entre la importancia que otorgan a la contextualización y el tipo de situaciones de intervención didáctica que se proponen.

Las inconsistencias encontradas, como señala Thompson (1992), parecen ser producto de una compleja relación con muchas fuentes de influencia:

• Los profesores no poseen las destrezas y el conocimiento necesarios para implantar los cambios o reformas al currículum de matemáticas.
• El contexto social impone restricciones y ofrece oportunidades en la enseñanza de las matemáticas.
• Los profesores pertenecen a una cultura y tradición pedagógica grupal, en la cual todavía se privilegian los aspectos sintácticos frente a los semánticos en la enseñanza de las matemáticas.
• Los profesores se adhieren a ideales de enseñanza que no pueden alcanzar.

Carraher, T., Carraher, D. y Schliemann, A. (1995). En la vida diez, en la escuela cero. México: Siglo XXI.

Carrillo, J. (1998). Modos de resolver problemas y concepciones sobre las matemáticas y su enseñanza. Metodología de investigación y relaciones. Huelva: Publicaciones Universidad de Huelva.

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