Se seleccionaron las siguientes competencias matemáticas a desarrollar, que forman parte de las competencias disciplinares básicas del modelo de la RIEMS:

Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques.

Los contenidos seleccionados de la materia de Geometría y Trigonometría fueron:

Congruencia y Semejanza de triángulos.

Se eligieron estos temas porque además de ser un eslabón importante en la construcción de conocimientos para las asignaturas de Cálculo y Física, y en general una herramienta muy útil para la resolución de problemas de la prueba planea (INEE, 2015), se deseaba observar el aumento de la complejidad en la actuación de los aprendices, desde la comprensión de conceptos hasta su aplicación en la resolución de un problema real de su entorno.

Se propuso que el diseño del proyecto contextualizado fuera realizado en trabajo colaborativo por los estudiantes, con una estructura de cinco etapas descrita a continuación.

Primera Etapa: De exploración. Los estudiantes exploran una situación problemática de su entorno, la cual se plantea de forma incompleta, como un problema mal estructurado, complejo y con múltiples soluciones (Jonassen, 1997). Se permite el libre abordaje de la misma. El que los estudiantes estudien el problema desde diversos enfoques -múltiples dimensiones- les permite conocer a fondo el problema, atrae su atención e interés y desarrolla su pensamiento crítico (Goodson, 2000).

Segunda Etapa: Identificación de un problema. Los estudiantes identifican un problema y proponen soluciones desde diversas perspectivas, las analizan y seleccionan una. Con esta actividad se promueve el desarrollo del pensamiento divergente y creativo, y la toma de decisiones (Goodson, 2000). Paralelamente a estas actividades, el facilitador trabaja en clase problemas guiados, aplicando conceptos y técnicas de los temas de estudio, desarrollando conocimientos y habilidades que servirán de soporte para el diseño y construcción de su prototipo. Collins (1997) llama a estas actividades, “actividades de andamiaje”.

Tercera Etapa: De profundización. El facilitador establece un conjunto de condiciones a ser cumplidas en la solución propuesta: la utilización de los conceptos matemáticos, métodos y técnicas estudiados en clase. Esta nueva situación obliga a los estudiantes a analizar nuevamente su propuesta de solución para modificarla, completarla o ampliarla para cumplir con los nuevos requisitos. Es importante observar que estas condiciones específicas relacionadas con los temas de la asignatura no se dan a conocer al estudiante al principio del proyecto, debido a que el propósito de las primeras dos etapas es el libre abordaje del problema, el descubrimiento y la motivación que les permita involucrarse en su proyecto y fomentar su creatividad. Por otro lado, en la tercera etapa se pretende que el estudiante aplique los conocimientos estudiados en el aula y desarrolle sus habilidades de pensamiento crítico y creativo.

Cuarta etapa: De implementación. En esta etapa, los estudiantes desarrollan un prototipo donde implementan su propuesta de solución aplicando los conocimientos adquiridos.

Quinta etapa: De exposición de resultados y metacognición. Los estudiantes exponen su proyecto a la comunidad escolar. Al terminar esta actividad se realiza un análisis metacognitivo que les permite reflexionar sobre los aprendizajes adquiridos.

El proceso de aprendizaje se diseñó a través de una secuencia didáctica contextualizada que Tobón (2010) afirma “permite a los estudiantes un aprendizaje que contribuye al desarrollo de competencias” con actividades de inicio, desarrollo y cierre, como se muestra en la tabla I.

Tabla I

Situación problemática	Actividades de la secuencia didáctica
El puente de San JuanRaboso, Puebla, México.	De inicio1. Visita al puente.
	De desarrolloEn equipo colaborativo:1. Observar la situación problemática e identificar un problema.2. Establecer una propuesta de solución a la problemática detectada.Paralelamente a esta actividad, en clase: Resolución de problemas guiados aplicandoconceptos, criterios, fórmulas y métodos de los temas seleccionados.3. Proponer una solución al problema de su entorno, sujeta a las condicionesestablecidas por el facilitador.5. Elaborar el producto final con la implementación de la solución propuesta.6. Elaborar un reporte escrito del proyecto, en el que se describan las herramientasmatemáticas usadas en la solución propuesta.
	De cierre1. Exposición del trabajo.2. Actividad metacognitiva en el aula.

La situación problemática fue establecida por las autoras haciendo una analogía con una experiencia de aprendizaje-enseñanza realizada en la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla con diversos grupos, tanto de estudiantes como de profesores, en los que se aplicó el método de aprendizaje basado en problemas en un puente peatonal situado a las afueras de la misma (Juárez, Lombardero y Flores, 2013). La transferencia se hizo considerando un puente de la comunidad de la siguiente manera.

El puente de San Juan Raboso: La carretera Internacional a Oaxaca atraviesa la comunidad de San Juan Raboso y, en algún punto tiene un puente que es usado para atravesar el caudal del río Atotonilco; el puente representa un riesgo para los habitantes del lugar y para los vehículos que transitan por él debido a diversas causas entre las que destacan:

La carretera es de alta velocidad y presenta un acotamiento en el puente.

Los problemas guiados para profundizar en los contenidos temático se seleccionaron del trabajo de Montes de Oca et al. (s. f.), un ejemplo de ellos se muestra en el Anexo A y para su evaluación se utilizaron dos instrumentos (ver Anexo B).

Se determinó que el producto final -descrito en la tabla I- fuera una maqueta en la que los estudiantes implementaran la solución propuesta. Para la actividad metacognitiva de cierre se estableció realizar una reunión plenaria con la pregunta detonadora: ¿Qué aprendizajes obtuviste durante la realización del proyecto?

Para valorar el nivel de dominio de las competencias se diseñó un mapa de aprendizaje y se establecieron los siguientes criterios (ver “Criterios para una evaluación formativa”, en Rosales (2003), para una mejor comprensión del tema):

Analiza el problema desde diversos puntos de vista.

Asimismo, se establecieron cinco niveles de logro de las competencias aplicando la taxonomía solo (Structure of the Observed Learning Outcome) establecida por Biggs y Collis (1982) para evaluar la complejidad del desempeño. Los cinco niveles de respuesta, con su respectivo descriptor y ponderación se diseñaron como se muestra en la tabla II: los primeros tres atienden a niveles crecientes de comprensión y aplicación de los conocimientos, los dos últimos involucran, además, habilidades de pensamiento crítico y creativo, como la argumentación y el desempeño autónomo.

Tabla II

Proyecto: La problemática del puente de San Juan Raboso y sus posibles soluciones
Nivel	Descriptor	Ponderación
Pre-formal	Muestra un bosquejo bastante general de conceptos y problemas sin intentarresolverlos. No organiza la información. Su acercamiento con las problemáticas essuperficial. Hace resumen de la información, hace mapas conceptuales.	6
Receptivo	Realiza problemas guiados y reconoce su utilidad en la solución de problemasreales. Comprende problemáticas cotidianas y las expone mediante el uso dellenguaje escrito. Comprende los conceptos y los aplica adecuadamente en lasolución de ejercicios.	7
Resolutivo	Resuelve ejercicios estableciendo relaciones entre ellos y reconoce su importanciaen la solución de problemáticas cotidianas. Analiza la problemática de acuerdo avarios enfoques, usando conceptos matemáticos y recursos tecnológicos.Argumenta la solución propuesta sólidamente.	8
Autónomo	Se desempeña autónomamente en la búsqueda de soluciones investigando porcuenta propia lo que le interesa y resolviendo los contratiempos que se le presentantanto en la información como en la herramienta matemática que necesita pararesolver el problema. Argumenta la solución de la problemática evidenciando el usode las matemáticas y las TIC.	9
Estratégico	Propone soluciones de manera innovadora, creativa y emprendedora. Muestra unfuerte compromiso social con su entorno. Adopta una postura crítica. Expone supropuesta defendiendo su punto de vista con argumentos sólidos y con buenosfundamentos matemáticos.	10

Para estimar la motivación de los estudiantes durante la realización del proyecto se diseñó una escala de valoración de actitudes, que se presenta en la siguiente sección.

Para la actividad metacognitiva de cierre se utilizó la técnica de observación directa y como instrumentos de apoyo y evaluación, la bitácora. La observación fue realizada por la facilitadora del curso durante todo el tiempo de realización del proyecto en los tres ambientes de aprendizaje utilizados: el puente peatonal de San Juan Raboso, el aula de clases, y la comunidad de la escuela durante las exposiciones del trabajo.

Se observó una buena participación de todos los estudiantes a lo largo del desarrollo del proyecto, resaltó un par de equipos que planificó desde el inicio el diseño de su maqueta (producto final del proyecto) elaborando dibujos acerca de lo que querían desarrollar para resolver la problemática planteada (los equipos realizaron dos tipos de maqueta: la ampliación del puente existente o el diseño de un puente completamente nuevo).

Un caso especial fue el de una estudiante que prefirió trabajar individualmente; culminando el proyecto pero presentando dificultades para resolver los problemas guiados y desarrollar su prototipo. El resto de los estudiantes trabajó activamente y los avances solicitados por el facilitador fueron entregados a tiempo.

Para poder diseñar su maqueta, un equipo realizó una entrevista a los habitantes cercanos al puente. Algunos de los problemas mencionados fueron: la acotación del puente, el encharcamiento de agua en época de lluvia y la necesidad de un muro de contención, ya que en ocasiones los carros se impactan en las casas que están a la orilla de la carretera. Otro equipo tomó fotografías y puntualizó un problema de contaminación por basura en el río. El resto de los equipos se limitó a visitar el lugar de la problemática y hacer los avances necesarios.

Conforme los estudiantes resolvían los problemas guiados descubrieron la forma en que estos les ayudarían a construir su prototipo. En el caso del problema guiado “Semejanza de triángulos”, lograron comprender la diferencia fundamental entre congruencia y semejanza, ya que para realizar su maqueta dos equipos consideraron la construcción de triángulos semejantes a los que habían observado en un puente de la ciudad aledaña (Izúcar de Matamoros, Puebla).

El problema guiado “Teorema de Pitágoras” ayudó a los equipos que usaron triángulos rectángulos en la construcción de su maqueta, usaron dicho concepto para calcular la longitud de la hipotenusa de los triángulos de un puente que usaron como guía.

Los problemas guiados acerca de las “Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo y pendiente” no habían sido considerados en la propuesta inicial sino integrados durante el desarrollo del proyecto, ya que un equipo consideró importantes dichos conocimientos para su prototipo al incorporar y aplicar el concepto de pendiente para construir rampas para el acceso a discapacitados y ciclistas. A pesar de que no todos los equipos consideraron los mismos temas para la construcción de su prototipo, todos cumplieron con la resolución de los problemas guiados.

Para la exposición de proyectos a la comunidad de la escuela, los estudiantes realizaron una presentación en Power Point o en rotafolio. En el Anexo C se muestra un ejemplo de cada uno de ellos.

Al inicio del proyecto se realizó una valoración pre-test para ubicar el nivel de desempeño de las competencias de los estudiantes usando el mapa de aprendizaje descrito en la tabla II. De acuerdo con lo observado, los resultados mostraron que el 63% de los estudiantes se encontraba en el nivel pre-formal y el 36% restante apenas en el receptivo. Los aprendices se limitaron a realizar las tareas solicitadas, no revelaron autonomía ni iniciativa, se mostraron limitados para realizar un análisis más profundo, fueron totalmente dependientes de los apuntes y no consultaron otras fuentes de información. Cumplieron con la entrega de los ejercicios, resúmenes y mapas solicitados, algunos buscaron la ayuda del facilitador, pero sin mostrar motivación para hacer algo más de lo que se les solicitó.

Al finalizar el proyecto se valoró nuevamente a los aprendices con el mapa de aprendizaje observando que el 90% se encontraba en el nivel estratégico y el 10% restante en el nivel resolutivo, indicando un gran avance en el desempeño de los estudiantes.

La valoración de actitudes al inicio del proyecto (ver tabla III) mostró que las frecuencias relativas se distribuyeron entre todos los indicadores, siendo las más altas en los indicadores “a veces” y “nunca”, que muestran poco interés, como fueron: consulta frecuentemente, hace más de lo que se le pide, organiza y lidera al equipo y se esfuerza por conseguir el logro. En el indicador Ayuda a sus compañeros la frecuencia relativa en “siempre” fue del 37.5%, lo cual reveló que había buena disposición de un pequeño grupo de estudiantes para el trabajo colaborativo.

Tabla III

	Frecuencia (%)
Indicadores	Nunca	A veces	Casisiempre	Siempre
Muestra empeño al realizar la actividad	21.8	31.2	28.1	18.7
Toma la iniciativa en la realización de la actividad	18.7	28.1	31.2	21.8
Participa permanentemente	21.8	28.1	31.2	18.7
Consulta frecuentemente	56.2	12.5	15.6	15.6
Se esfuerza por superar sus errores	12.5	34.3	37.5	15.6
Hace más de lo que se le pide	9.3	59.3	9.3	21.8
Asume los errores con naturalidad	34.3	21.8	25.0	18.7
Organiza y lidera al equipo	62.5	12.5	12.5	12.5
Se esfuerza por conseguir el logro	18.7	37.5	31.2	12.5
Ayuda a sus compañeros	31.2	12.5	18.7	37.5

Otro hecho importante a observar fue que aproximadamente el 20% de estudiantes obtuvo el indicador “casi siempre” o “siempre” en 8 de los 10 criterios evaluados, mostrando este pequeño subgrupo una buena actitud hacia el aprendizaje.

Al aplicar nuevamente la valoración al final del proyecto (ver tabla IV) se observó una tendencia hacia las frecuencias “siempre” y “casi siempre”, indicando una mejora importante en la motivación de los estudiantes hacia el aprendizaje, especialmente en los indicadores se esfuerza por superar sus errores, conseguir el logro propuesto y ayudar a sus compañeros, en los que las frecuencias relativas se repartieron en casi el 90% entre los valores “siempre” y “casi siempre”. Con frecuencias “siempre” o “casi siempre”; el 72.5% de los estudiantes mostró empeño al realizar la actividad y en promedio el 63% “siempre” o “casi siempre” tomó la iniciativa en la realización de actividades, participó e hizo lo que se le pidió.

Tabla IV

	Frecuencia (%)
Indicadores	Nunca	A veces	Casisiempre	Siempre
Muestra empeño al realizar la actividad	0	27.5	24.1	48.4
Toma la iniciativa en la realización de la actividad	5.1	27.5	18.9	48.5
Participa permanentemente	6.8	27.5	17.2	48.5
Consulta frecuentemente	50.0	27.5	10.3	12.2
Se esfuerza por superar sus errores	0	1.7	79.3	19.0
Hace más de lo que se le pide	15.5	27.5	36.2	20.8
Asume los errores con naturalidad	5.1	25.8	56.8	12.3
Organiza y lidera al equipo	12.0	22.4	60.3	5.3
Se esfuerza por conseguir el logro	0	10.3	39.6	50.1
Ayuda a sus compañeros	1.7	8.6	17.2	72.5

El análisis de correlación entre los indicadores mostró que antes del proyecto había una correlación negativa (-0.99) entre Muestra empeño al realizar la actividad y Ayuda a sus compañeros, pero al finalizar el proyecto cambió a una relación directa de 0.7, lo cual indica que el desarrollo del proyecto contribuyó a mejorar el trabajo colaborativo entre los estudiantes. Las parejas Muestra empeño al realizar la actividad con Toma la iniciativa en la realización de la actividad y Muestra empeño al realizar la actividad con Participa permanentemente mantuvieron una correlación directa alta antes y después del proyecto (de 0.8 a 0.97 y de 0.9 a 0.96, respectivamente).

Con respecto a la actividad metacognitiva al final del proyecto, a la pregunta detonadora ¿Qué aprendizajes obtuviste durante la realización del proyecto?, las respuestas más frecuentes fueron trabajar en equipo (93.3%), investigar (80%), haber aprendido la utilidad de los ángulos y pendientes (60%), mencionó aprender la semejanza de figuras (93.3%), y haber aprendido a utilizar software para hacer diapositivas (50%). Los estudiantes se percataron también de que además de mencionar los aprendizajes que les parecieron muy importantes, habían obtenido otros no menos importantes que fueron indispensables para la realización del proyecto.

En el grupo había ocho estudiantes que al inicio de la intervención mostraban apatía hacia el aprendizaje, no obstante, durante la realización del proyecto tres de ellos modificaron radicalmente su actitud hacia el trabajo, dos de ellos (que habían mostraron desinterés incluso en la elaboración de los problemas guiados) se desempeñaron excelentemente al desarrollar el proyecto con su equipo, liderando los trabajos o actividades, y en la exposición final fue su equipo el ganador para representar al Bachillerato en el “XV Encuentro Regional de Investigación y Enseñanza de la Física” realizado en la ciudad de Puebla ese mismo año. Los cinco estudiantes restantes aumentaron sólo un nivel en la valoración de desempeño.