Muchos centros de educación primaria y secundaria presentan, aún, prácticas educativas basadas en la transmisión unidireccional del conocimiento y la distribución del alumnado en grupos homogéneos (Muntaner et al., 2020). La reticencia a cambiar estas prácticas genera barreras para adoptar estructuras de trabajo de carácter cooperativo que contribuyan a la mejora y enriquecimiento de los procesos de aprendizaje del alumnado (Martínez y López, 2020; Pujolàs, 2003). Los avances en la investigación (Gutiérrez-Vidrio, 2019) y la renovación pedagógica de las últimas décadas (Sanz, 2019), sin embargo, llevan a optar opciones metodológicas orientadas a fomentar el aprendizaje entre iguales (Azorín, 2018) que favorezcan que el alumnado desarrolle habilidades como aprender a razonar, a dialogar y a defender el punto de vista propio de manera argumentada (Alegre et al., 2019; Serra, 2016).

Una de estas opciones es el método de tutoría entre iguales, que se basa en la formación de parejas de estudiantes con un rol asimétrico, un tutor y un tutorado (Topping, 1998). La pareja de alumnos tiene un objetivo común, conocido y compartido en un marco de interacción previamente estructurado por el docente (Duran y Vidal, 2004). En función de la edad de los participantes podemos distinguir dos tipos de tutoría, la tutoríacross age, en la que los participantes tienen edades distintas (diferencia no superior a dos años) y la same age, en la que los estudiantes que forman la pareja tienen la misma edad (Topping, 1998). En relación con la continuidad del rol se puede trabajar con la modalidad de rol fijo -tutor y tutorado mantienen el rol durante todo el proceso de aprendizaje- o la de rol recíproco -aquella en la que se produce alternancia entre roles (Fantuzzo et al., 1992). Los beneficios de la tutoría entre iguales han sido evidenciados y avalados por varios autores (Duran, 2014; Topping, 1998; Wankiiri‐Hale et al.; 2020; Zaldívar et al., 2018). Por un lado, los tutores aprenden gracias a la tarea específica de enseñar a otros estudiantes (Duran, 2014), y por otro, como apuntanRobinson et al. (2005), los tutorados obtienen beneficio pedagógico a partir de las ayudas ajustadas y personalizadas que los tutores les ofrecen.

En el área de matemáticas, igual que en las demás disciplinas, las prácticas pedagógicas basadas en el aprendizaje cooperativo y la tutoría entre iguales facilitan que los estudiantes avancen en su capacidad para interpretar las aportaciones de los otros, justificar argumentos o planificar y revisar procesos (Alegre et al., 2018; Moliner y Alegre, 2022; Rohim y Umam, 2019). Cuando trabajan en grupos reducidos o parejas, en un marco de interacción estructurado por el docente, desarrollan estrategias discursivas como: prever los resultados que se obtendrán, decidir entre alternativas o identificar aciertos y errores propios y de otros (Arteaga-Martínez et al., 2020; Rasmussen y Secher, 2022). Asimismo, el perfeccionamiento de las habilidades discursivas y lingüísticas son un predictor significativo de la mejora de las competencias matemáticas y, de manera concreta, del proceso de resolución de problemas (Syukri et al., 2020).

Razonar en pareja (Flores et al., 2016) es un programa educativo desarrollado por el Grupo de Investigación sobre Aprendizaje entre Iguales (GRAI, por sus siglas en catalán) de la Universidad Autónoma de Barcelona; empleando la tutoría entre iguales, el programa tiene como objetivo desarrollar la competencia en resolución de problemas matemáticos cotidianos. Está inspirado en el programa de tutoría entre iguales Duolog Math (Topping et al., 2011), que promueve la discusión entre iguales para la resolución de problemas matemáticos.

El programa se dirige a alumnado de educación básica de entre 8 y 14 años y se desarrolla durante 12 semanas, a razón de dos sesiones semanales de entre 30 y 40 minutos. Las Hojas de Actividades estructuran la interacción de las parejas y definen el proceso de resolución. Así, los primeros 15 minutos se dedican a la comprensión, representación y formulación de hipótesis de la situación matemática planteada y los siguientes 20-25 minutos se dedican a la planificación, resolución y revisión; en línea con los cuatro estadios de resolución de problemas que propone PISA (OCDE, 2017): explorar y comprender; representar y formular; planificar y ejecutar; y revisar y reflexionar. Los apartados que contienen las Hojas de Actividades son: 1) antes de empezar… ¿de qué va este problema? (preguntas para hacer emerger conocimientos previos); 2) ¿Qué nos dice el problema? (enunciado e imágenes sobre la situación matemática planteada); 3) Datos; 4) Planificación (espacio para planear las acciones a hacer para poder dar respuesta a la situación planteada); 5) Resolución (espacio para realizar las acciones necesarias para la resolución); 6) Elaboración de respuestas; 7) Revisión final (contiene una lista de preguntas para hacer las comprobaciones necesarias y asegurarse que se ha dado respuesta a todas las preguntas y que son capaces de explicar el proceso seguido y argumentar sus respuestas a otros); 8) Actividades complementarias (están relacionadas con la situación planteada pero no son obligatorias, sirven para regular el ritmo de trabajo de las parejas, no influyen en los resultados finales).

Las situaciones matemáticas que se proponen pertenecen a problemas de la vida cotidiana (situaciones de compras, recibos de suministros, itinerarios a seguir, propuestas de creación de espacios escolares, entre otras) y las preguntas que se plantean son abiertas, sin una respuesta única. Este planteamiento es el que fomenta que las parejas activen estrategias de razonamiento, argumentación y justificación para la toma de decisiones.

Antes de empezar las sesiones del programa se realiza una formación inicial del profesorado y del alumnado con el objetivo de conocer en profundidad las bases del programa, su funcionamiento y el material que se utilizará. En este momento también se administra una prueba individual de resolución de problemas matemáticos (a modo de pretest) que permite conocer el nivel de competencia inicial del alumnado.

A través del diálogo establecido en el marco de la pareja a lo largo del desarrollo de las sesiones del programa se activan las habilidades de planificación, justificación, argumentación, razonamiento, formulación de preguntas y ofrecimiento de pistas y ejemplos (Huda et al., 2020; Mayoral-Rodríguez et al., 2018). El uso de estrategias discursivas contribuye a la mejora de la competencia matemática en las distintas fases de resolución de problemas (Planas, 2021). Las estructuras cooperativas de trabajo (Torrego y Monge, 2019) son las que facilitan que se pueda establecer un diálogo funcional entre el alumnado para poder mejorar las distintas habilidades apuntadas y, como consecuencia, la mejora de la resolución cooperativa de problemas matemáticos.

Conocemos los beneficios pedagógicos del aprendizaje entre iguales (Hidalgo et al., 2020; Topping, 1998) y la influencia positiva de este último para el enriquecimiento del discurso matemático y la mejora del proceso de resolución de problemas (Planas y Schütte, 2018; Saorin et al., 2019). También sabemos que existe poca literatura relacionada con el papel del discurso en el área de matemáticas (Ibernón, 2017); el objetivo de este estudio es conocer los cambios que se producen en la resolución de problemas matemáticos debido a la participación en el programa Razonar en pareja, y observar la evolución del discurso matemático que puede haber contribuido a estos cambios.

El objetivo del estudio se centra en conocer los cambios producidos en la resolución de problemas matemáticos a lo largo del desarrollo del programa, así como los factores asociados al discurso matemático del alumnado que pueden explicar estos cambios.

Se optó por un diseño metodológico mixto que dividió el objetivo de investigación diferenciando hipótesis -propias del diseño de cuantitativo-, y preguntas -del proceso de carácter cualitativo- (López-Roldán y Fachelli, 2016). Así pues, a partir del objetivo general que orienta la investigación, se concretan la siguiente hipótesis y pregunta de investigación:

Hipótesis: El alumnado participante en el programa Razonar en pareja, independientemente del rol que desarrolle, tanto si actúa con el rol de tutor como de tutorado, obtendrá mejoras en la resolución individual de problemas matemáticos. Por este motivo, se espera encontrar diferencias estadísticamente significativas entre el pretest y el postest de la prueba de resolución de problemas matemáticos.

Pregunta: ¿Qué factores del discurso matemático pueden haber contribuido a los cambios en la resolución de problemas matemáticos del alumnado durante el desarrollo de las sesiones del programa?

Los fenómenos sociales y educativos, de carácter complejo y subjetivo, requieren de una metodología capaz de recoger y plasmar toda la riqueza de su naturaleza (Flores, 2012; Pérez y Moreno, 2019). Existe una multiplicidad de formas de contemplar y conceptualizar la realidad educativa, lo que lleva a que el presente estudio plantee un diseño mixto secuencial explicativo (Creswell, 2015). Este tipo de diseño, siguiendo las recomendaciones actuales de la investigación psicoeducativa, combina un diseño cuasiexperimental pretest y postest con un estudio cualitativo basado en el análisis de los componentes del proceso para interpretar los cambios cuantitativos constatados y conocer el porqué de estos cambios a través de los agentes implicados. El uso de métodos mixtos permite obtener los beneficios propios de ambos (Ramírez-Montoya y Lugo-Ocando, 2020).

Participantes. La muestra del estudio se integró con 81 alumnos, de entre 9 y 13 años, pertenecientes a cuatro grupos de cuatro centros públicos de educación básica que formaron parte de la red de centros del programa Razonar en pareja (Flores et al., 2016) de Cataluña, el curso 2018-19 (ver Tabla 1). La edad media de los participantes fue de 11.3 años.

De cada uno de los grupos participantes se escogió una pareja de alumnos a la que se grabó durante 5 sesiones a lo largo del desarrollo del programa, de este trabajo se extrajeron los datos para hacer el análisis cualitativo y dar respuesta a la pregunta planteada al inicio. Cuatro maestros formaron parte de la muestra (uno por centro).

Los centros participantes se seleccionaron siguiendo criterios de diversidad y representatividad. La submuestra de las 4 parejas se escogió teniendo en cuenta aspectos de diversidad en el desarrollo de la competencia objeto de estudio, para conseguir una muestra heterogénea en el ámbito del aprendizaje y las habilidades. El número de sesiones de desarrollo del programa que llevaron a cabo los centros educativos son una media de 16 sesiones. Todos los centros participantes en la investigación optaron por una modalidad de tutoría fija.

Tabla 1

	Muestra de alumnado N (edad)	Submuestra de parejas N	Docentes participantes
Centro 1	21 (12-13)	1 (Alumnos 1 y 2)	1 (Docente 1)
Centro 2	21 (12-13)	1 (Alumnos 3 y 4)	1 (Docente 2)
Centro 3	19 (9-10)	1 (Alumnos 5 y 6)	1 (Docente 3)
Centro 4	20 (10-11)	1 (Alumnos 7 y 8)	1 (Docente 4)
TOTAL	81 (11.3)	4	4

Recogida y análisis de datos. Los instrumentos de recogida y análisis de datos utilizados en la investigación se presentan de manera sintetizada en la Tabla 2, en la que se explica y justifica cada uno de ellos.

Tabla 2

Diseño/Análisis	Instrumento	Medida	Agentes	Uso	Análisis de datos
Cuasiexperimental	Prueba individual de resolución de problemas matemáticos.	Resolución individual de problemas matemáticos.	Alumnado: tutores y tutorados.	Pretest y postest	SPSS Statistics
Proceso	Grabación de audio de 5 sesiones de resolución cooperativa de problemas matemáticos.	Discurso matemático.	Submuestra de 4 parejas de alumnos.	Proceso	Atlas.ti
	Entrevistas en profundidad.	Resolución de problemas y discurso matemático.	Submuestra de 4 parejas de alumnos y 4 docentes.	Final	Atlas.ti

Prueba individual de resolución de problemas matemáticos inicial y final: consta de un problema que plantea una situación matemática del entorno cotidiano y que admite respuestas abiertas, tal como se propone desde el enfoque competencial del programa (Flores et al., 2016); se utiliza a condición pretest-postest. Los problemas de ambas pruebas (pre y postest) son similares en cuanto a complejidad, pero presentan diferencias de planteamiento para evitar que los resultados del postest se vean condicionados por el hecho de que el alumnado recuerde la situación planteada en el pretest. Los 81 alumnos participantes resuelven la prueba de manera individual para conocer el nivel de competencia y las diferencias entre pretest y postest. Las pruebas realizadas son ajustadas al nivel del alumnado en función de la edad y el nivel educativo al que pertenecen y corregidas y puntuadas a través de una rúbrica (Flores et al., 2016). Los resultados se analizan mediante la prueba t de Student para muestras relacionadas del programa SPSS Statistics 26.0.

Registro de sesiones: se hacen grabaciones en audio de 5 sesiones desde el inicio al final del programa en las semanas 1, 2, 4, 6 y 8. El total de sesiones grabadas, 20, representa el 33% del número total de sesiones desarrolladas. Con la información obtenida se realiza un análisis del discurso matemático y de la interacción establecida entre las parejas de alumnos a través de un sistema de categorías que se detalla más adelante. La información es analizada mediante el programa Atlas.ti v6.2.

Entrevistas en profundidad: se realizan al final del desarrollo del programa. Están conformadas por 10 preguntas abiertas que promueven las reflexiones de los participantes, tanto alumnado como profesorado. Permiten conocer la valoración final de los docentes y de los estudiantes sobre las aportaciones del programa en el proceso de aprendizaje de resolución de problemas matemáticos y los factores del discurso que los pueden explicar. La estructura de la entrevista es igual para los docentes y los alumnos, a pesar de que se utiliza un lenguaje ajustado a las características de la submuestra. Se trata de un instrumento explicativo que permite triangular la información obtenida e incluir la voz de los participantes del estudio al proceso de investigación. La información obtenida es analizada mediante el programa Atlas.ti v6.2.

Procedimiento. El proceso de desarrollo del programa y recogida de datos se llevó a cabo durante el curso académico 2018-2019 y está dividido en tres fases. La fase inicial empieza en el primer trimestre del curso. Comprende la preparación de los docentes y los materiales, incluyendo la primera sesión de formación del profesorado que desarrolla el programa en los centros respectivos. También se realiza la recogida de datos iniciales de los centros participantes en el proyecto -información general del centro y previsión de los aspectos a considerar para el desarrollo de las sesiones-. Durante esta primera fase se hace la elección de los centros que participan en el estudio. Se propone a los centros la participación voluntaria y, en cada uno de los centros seleccionados se elige la muestra y submuestra siguiendo los criterios de diversidad expuestos antes. A continuación, se gestionan los trámites para la firma del consentimiento de grabación del alumnado por parte de las familias; una vez cerrado este proceso, se administra la prueba individual de resolución de problemas matemáticos del alumnado participante en formato pretest.

La fase intermedia ocurre durante el desarrollo del programa a partir del mes de enero, en el segundo trimestre del curso. Cuando los docentes conocen el funcionamiento del programa, y después de hacer la revisión y organización del material que se utilizará durante las sesiones, empieza la formación inicial del alumnado. El objetivo es que participen en el programa teniendo en cuenta la distribución de los roles y las tareas a realizar. Con esta formación se llega a la segunda fase de la investigación: las sesiones de resolución cooperativa de problemas matemáticos y la recogida de datos mediante las grabaciones de audio de las parejas. La grabación es de una submuestra de 4 parejas pertenecientes a los 4 centros participantes y que son registradas en cinco momentos del desarrollo del programa (sesiones 1, 4, 8, 12 y 16).

Al final del tercer trimestre del curso académico y cuando ya han finalizado las sesiones de tutoría entre iguales se vuelve a administrar la prueba individual de resolución de problemas matemáticos a modo de postest. En esta fase final se realizan las entrevistas en profundidad que permiten recoger las valoraciones y reflexiones de la submuestra de docentes y parejas de alumnos sobre sus percepciones de la influencia del programa en el proceso de resolución de problemas matemáticos y en el discurso matemático.

Análisis de los datos. El análisis de los datos cuantitativos obtenidos a través de la prueba individual de resolución de problemas matemáticos, y que permite dar respuesta a la hipótesis inicial, se hace mediante la t de Student para muestras relacionadas, utilizando el programa SPSS Statistics versión 26.0.

Para dar respuesta a la pregunta de investigación es necesario llevar a cabo el análisis del proceso; para ello se dispone del registro de 5 sesiones de 4 parejas.

Para realizar el análisis se transcribieron los veinte registros de audio correspondientes a las sesiones de desarrollo del programa. De forma paralela, se diseñó un sistema de categorías basado en la revisión de la literatura (Flores et al., 2017; Flores et al., 2016; Sánchez-Cano y Gràcia, 2018). A continuación, se analizan las transcripciones mediante el programa Atlas.ti utilizando el sistema de categorías preestablecidas. Por último, durante el proceso de categorización y codificación se detectaron nuevos enunciados que llevan a crear categorías emergentes ad hoc, incorporadas al sistema preestablecido.

El sistema de categorías utilizado para el análisis del proceso se diseñó con base en las aportaciones de Sánchez-Cano y Gràcia (2018), y se ajustó a los segmentos temporales del programa Razonar en pareja (Flores et al., 2016). Las categorías de análisis son las siguientes: dar información (Tabla 3), pedir información (Tabla 4), regular el comportamiento (Tabla 5), fórmulas de interacción (Tabla 6) y función lingüística (Tabla 7). Cada una de ellas se concreta con indicadores que hacen referencia a las actuaciones específicas de la pareja durante la interacción.

En la primera categoría se reúnen las intervenciones asociadas a la interacción de la pareja que pueden relacionarse con la explicitación de cómo ha entendido cada alumno el problema, la explicación de las situaciones ambiguas, el acuerdo sobre los datos y las actuaciones necesarias. En definitiva, comunicar a la pareja aspectos concretos del proceso de resolución.

Tabla 3

Segmento temporal	Indicadores
1.1 Inicio sesión	1.1.1 Explican de manera objetiva el enunciado recordando los datos.
	1.1.2 Explican lo que han entendido.
1.2 Desarrollo sesión	1.2.1 Determinan la trayectoria que se debe seguir.
	1.2.2 Establecen las operaciones que se deben hacer.
1.3 Final sesión	1.3.1 Formulan hipótesis sobre los resultados.
	1.3.2 Revisan el proceso.

La segunda categoría hace referencia a las intervenciones asociadas a la interacción de la pareja que pueden relacionarse con la comprobación de la comprensión de los problemas o la realización de preguntas de tanteo o hipótesis. En definitiva, formular preguntas o cuestiones a la pareja asociadas a dudas genéricas o específicas del proceso de resolución.

Tabla 4

Segmento temporal	Indicadores
2.1 Inicio sesión	2.1.1 Establecen los datos necesarios y accesorios.
2.2 Desarrollo sesión	2.2.1 Determinan los pasos a seguir.
	2.2.2 Se cuestionan por qué es necesario seguir los pasos establecidos.
2.3 Final sesión	2.3.1 Se formulan hipótesis alternativas.

Sabemos que el proceso de regulación de la actividad conjunta por parte de los alumnos es indispensable para su proceso de aprendizaje. Por ello, la tercera categoría hace referencia a las intervenciones asociadas a la interacción de la pareja, que pueden relacionarse con la concreción de la toma de decisiones sobre los diferentes procesos a emprender. Se refiere, pues, a sistemas de autorregulación de las actuaciones que gestionan cada uno de los miembros de la pareja.

Tabla 5

Segmento temporal	Indicadores
3.1 Inicio sesión	3.1.1 Acuerdan las operaciones necesarias para resolver el problema.
	3.1.2 Recuerdan el rol que tiene que desarrollar cada uno.
3.2 Desarrollo sesión	3.2.1 Prevén las operaciones necesarias para resolver el problema.
	3.2.2 Se ofrecen pistas para orientar la resolución.
	3.2.3 Se ofrecen ejemplos para orientar la resolución.
	3.2.4 Se formulan preguntas para orientar la resolución.
	3.2.5 Determinan qué se debe tener en cuenta para realizar las operaciones.
3.3 Final sesión	3.3.1 Discuten hasta qué punto es lógico y posible un determinado resultado.

La cuarta categoría hace referencia a los enunciados concretos y explícitos que la pareja expresa para organizar las distintas fases del proceso de resolución de problemas. Expresiones del tipo: ¿Cómo lo has hecho? ¿Qué operaciones has realizado? Vale... ¿Quieres decir? ¿Lo comprobamos? ¿Lo revisamos?

Tabla 6

Segmento temporal	Indicadores
4.1 Inicio sesión	4.1.1 Se formulan preguntas para poder explicitar los pasos seguidos.
4.2 Desarrollo sesión	4.2.1 Establecen momentos de comprobación durante el proceso.
	4.2.2 Establecen momentos de revisión durante el proceso.
4.3 Final sesión	4.3.1 Establecen sistemas de revisión de los resultados.

Conocemos, también, la importancia de los elementos discursivos en relación con el proceso de resolución de problemas matemáticos. Así pues, dentro de la última categoría se incluyen las intervenciones asociadas a la interacción de la pareja que pueden relacionarse con los elementos comunicativos propios del proceso de resolución de problemas. Como, por ejemplo, la argumentación.

Tabla 7

Segmento temporal	Indicadores
5.1 Inicio sesión	5.1.1 Parafrasean el enunciado.
	5.1.2 Interpretan el texto dado.
5.2 Desarrollo sesión	5.2.1 Se cuestionan los procesos y operaciones que desarrollan.
5.3 Final sesión	5.3.1 Realizan una síntesis del itinerario seguido.
	5.3.2 Acuerdan y explican el resultado dado.

Los resultados de investigación obtenidos muestran que el programa Razonar en pareja (Flores et al., 2016) contribuye a la mejora de la competencia en resolución de problemas matemáticos, probablemente debido a las oportunidades de desarrollo del discurso matemático del alumnado en formato de tutoría entre iguales. Estos resultados se encuentran alineados con investigaciones anteriores, que destacan los beneficios de las estructuras cooperativas de aprendizaje y los procesos de interacción para resolver situaciones matemáticas (Bakker et al., 2015;Mallart y Deulofeu, 2017). El análisis del discurso matemático nos ayuda a explicar las mejoras en la competencia matemática del alumnado.

El elevado grado de estructuración de la actividad -a través del planteamiento de los problemas que organiza el proceso de resolución y de la interacción externamente estructurada entre tutor y tutorado, propia de la tutoría entre iguales (Duran y Vidal, 2004)- genera intervenciones ajustadas a esta organización, sobre todo al inicio de la implementación del programa.

A medida que van avanzando las sesiones se observa que el alumnado participante se apropia de la estructura de interacción y enriquece los diálogos (Person y Graesser, 1999). Muestra de esto es la tendencia general al aumento en las intervenciones del discurso matemático, centradas en el incremento de las categorías Pedir información, Fórmulas de interacción y Función lingüística.

Aun así, algunos indicadores que la literatura considera importantes para la resolución de problemas -planificar, hacer hipótesis (Serra, 2016) y revisar el proceso seguido (Díaz et al., 2018)- aparecen con frecuencias muy bajas. Para lograr un incremento en estos tipos de intervenciones se propone una instrucción explícita por parte del docente, que modele cómo llevarlas a cabo y destaque su importancia para el proceso de resolución. También es necesario ampliar el material didáctico del programa e incluir guías explícitas para el alumnado con el objetivo de orientar de manera más ajustada las estrategias de planificación y revisión.

Por último, cabe destacar que los resultados del estudio apuntan a que existe una interrelación estrecha entre los dos constructos abordados: resolución cooperativa de problemas y discurso matemático. Tal como manifiestan los participantes (docentes y alumnos), el discurso matemático y el uso del lenguaje tienen una función vertebradora para el desarrollo de competencias matemáticas. Parece acertada la importancia que la perspectiva socioconstructivista otorga al lenguaje, para pensar junto a otras personas (Mercer, 2001) y para regular el propio pensamiento (Vygotsky, 1979), también en el ámbito de las matemáticas (Lein et al., 2020; Rubio, 2019).

De las conclusiones extraídas se establece una línea principal de mejora del programa: el trabajo explícito de estrategias de resolución de problemas centradas en el proceso de planificación, la formulación de preguntas, el andamiaje a través de pistas y la revisión de todo el proceso seguido. De esta manera se promueve que el alumnado perfeccione y enriquezca el discurso matemático y, finalmente, que mejore su competencia en resolución de problemas matemáticos. Las líneas de investigación futuras podrían centrarse en el estudio específico de las estrategias de resolución de problemas matemáticos como herramientas potentes para la mejora del proceso de aprendizaje de los estudiantes.