redieRevista electrónica de investigación educativaREDIE1607-4041Universidad Autónoma de Baja California, Instituto de Investigación
y Desarrollo Educativo10.24320/redie.2023.25.e15.440700115ArtículosEstrategias para resolver problemas de estructura multiplicativa con
naturales y fraccionesStrategies for Solving Multiplicative Structure Problems with
Natural Numbers and FractionsEstratégias para resolver problemas de estrutura multiplicativa com
naturais e frações0000-0001-5965-0292ZorrillaCristina*0000-0002-1965-8721IvarsPedro*0000-0002-4791-9247FernándezCeneida*Universidad de Alicante,
EspañaUniversidad de AlicanteUniversidad de AlicanteSpain23052023202325e151607202019012021Este es un artículo publicado en acceso abierto bajo una licencia
Creative CommonsResumen
En el estudio se analiza la forma en que los estudiantes de Primaria y Secundaria
resuelven problemas de estructura multiplicativa (multiplicación,
división-partitiva y división-medida). Se utilizó un cuestionario con nueve
problemas en los que se tomó en cuenta el uso de números naturales y fracciones,
y se analizó tanto el nivel de éxito como las estrategias implementadas en cada
tipo de problema (por curso). Los resultados muestran un menor nivel de éxito en
los problemas con fracciones que con números naturales, ya que los estudiantes
presentaron dificultades para identificar que la estructura de los problemas era
la misma. El uso del algoritmo fue la estrategia más utilizada; no obstante,
emergieron otras estrategias dependiendo del tipo de números implicados
(naturales o fracciones).
Abstract
This study explores how elementary and secondary school students solve
multiplicative structure problems (multiplication, partitive division, and
measurement division). A questionnaire was used with nine problems involving
natural numbers and fractions, and the research examined both the level of
success of students and the strategies employed for each type of problem (by
grade level). The results show a lower level of success in problems with
fractions than with natural numbers, with students having difficulty recognizing
that the structure of the problems was the same. Algorithms were the most
commonly used strategy, but other strategies also emerged, depending on the type
of number involved (natural numbers or fractions).
Resumo
Este estudo analisa a forma como os alunos do ensino Primário e Secundário
resolvem problemas de estrutura multiplicativa (multiplicação, divisão-partitiva
e divisão-medida). Foi utilizado um questionário com nove problemas em que se
considerou o uso de números naturais e frações, e se analisou tanto o nível de
sucesso como as estratégias implementadas em cada tipo de problema (por curso).
Os resultados mostram um menor nível de acerto nos problemas com frações do que
com números naturais, pois os alunos apresentaram dificuldades em identificar
que a estrutura dos problemas era a mesma. A utilização do algoritmo foi a
estratégia mais utilizada; no entanto, outras estratégias surgiram dependendo do
tipo de número implicado (números naturais ou frações).
<italic>Palabras clave:</italic>enseñanza de las matemáticasaritméticaeducación básicaeducación secundaria<italic>Keywords:</italic>mathematics instructionarithmeticbasic educationsecondary education<italic>Palavras-chave:</italic>ensino de matemáticaaritméticaeducação básicaeducação secundáriaConselleria d’Educació, Investigació, Cultura i Esport de la
Generalitat ValencianaPROMETEO/2017/135Ministerio de UniversidadesFPU19/02965I. Introducción
Los problemas de isomorfismo de medidas (Vergnaud,
1997) presentan una estructura matemática independiente del conjunto
numérico con el que se esté trabajando. Esto se debe a que la incógnita de un
problema aritmético-algebraico está determinada por las relaciones establecidas en
la formulación del problema. La resolución de dichos problemas implicaría, por
tanto, que los estudiantes identificaran su estructura, razonando sobre las
relaciones que se establecen entre las cantidades, independientemente del conjunto
numérico que aparezca. No obstante, ante un mismo problema, los estudiantes tienden
a elegir la operación contraria cuando se cambian los números naturales por
racionales, error que Bell et al. (1984)
atribuyen a las dificultades para considerar que la estructura del problema es
invariable. Estas dificultades pueden derivarse de las contradicciones que generan
los modelos implícitos de las operaciones con naturales al introducir los racionales
(por ejemplo, considerar que el resultado de una multiplicación es siempre un número
mayor que las cantidades multiplicadas), atribuyendo de forma errónea las
propiedades de los números naturales a los racionales (González-Forte et al., 2019, 2020; van Hoof et al., 2015).
Estudios previos han mostrado que el tipo de problemas presentados influye sobre el
aprendizaje de los contenidos matemáticos (Castañeda
et al., 2017); por ello, la tradición china emplea variaciones en los
problemas para construir conexiones entre la multiplicación y división de naturales
y la multiplicación y división de fracciones (Sun,
2019).
Otros estudios (Bell et al., 1984; De Corte et al., 1988; Empson y Levi, 2011; Levain,
1992) también han mostrado la influencia que posee el tipo de conjunto
numérico sobre la dificultad del problema. Los problemas de multiplicación son más
sencillos cuando el multiplicador es un número entero que cuando es una fracción o
decimal (De Corte et al., 1988; Empson y Levi, 2011). Cuando el multiplicador es
una fracción la dificultad varía según se trate de una fracción unitaria o no
unitaria, siendo esta última más difícil. Los problemas más difíciles son aquellos
cuyas dos variables numéricas son racionales (Empson
y Levi, 2011); sin embargo, el cambio de la variable numérica en el
multiplicando no supone una dificultad significativa (De Corte et al., 1988; Levain,
1992). En los problemas de división, los estudiantes experimentan
dificultades cuando el divisor es superior al dividendo (Bell et al., 1984). La investigación sobre cómo los estudiantes
resuelven problemas con fracciones es escasa; no obstante, Bell et al. (1984) mostraron que introducir decimales inferiores
a la unidad genera dificultad a los estudiantes.
Nuestro estudio está centrado en la influencia que posee el tipo de conjunto numérico
(natural o racional) en los niveles de éxito de los estudiantes cuando resuelven
problemas de isomorfismo de medidas y las estrategias utilizadas por los estudiantes
desde 5o. curso de Educación Primaria a 2o. curso de Educación Secundaria (10 a 14
años de edad).
1.1 Problemas de isomorfismo de medidas
Los problemas de isomorfismo de medidas (Vergnaud, 1997) son problemas cuya estructura es una proporción
entre dos espacios de medida (M1 y M2), cada uno de los cuales contiene dos
cantidades.
En estos problemas una de las cantidades se reduce a una unidad, de modo que -en
función de cuál de las otras tres cantidades sea la incógnita- se obtienen tres
tipos de problemas (Vergnaud, 1997):
multiplicación, división (búsqueda del valor unitario) y división (búsqueda de
la cantidad de unidades). No obstante, en esta investigación se utilizará la
nomenclatura empleada por Greer (1992)
para dichos problemas: multiplicación, división-partitiva y división-medida.
Levain (1992), en estudiantes de 9-11
años, no encontró diferencias significativas en los niveles de éxito en
problemas de multiplicación y división de ambos tipos (partitiva y medida). Sin
embargo, Bell et al. (1984) mostraron que
para estudiantes de 12-13 años los problemas de división-partitiva resultan más
sencillos de resolver que los de división-medida.
1.2 Estrategias de resolución
Mulligan (1992), usando problemas de
estructura multiplicativa con números naturales, realizó un estudio longitudinal
de dos años donde observó el procedimiento empleado por estudiantes de 7-8 años.
Los resultados permitieron agrupar los procedimientos/estrategias en tres
grupos: modelización con conteo; estrategias de conteo,
aditivas y sustractivas y; aplicación de hechos numéricos
conocidos y derivados de la adición y multiplicación. Al inicio del
estudio, los participantes priorizaban el modelado con conteo en los problemas
de división, aunque en problemas de división-partitiva también usaban
estrategias aditivas. No obstante, en el tramo final del estudio tendían a
emplear hechos numéricos derivados. Por otro lado, en los problemas de
multiplicación las estrategias de conteo y hechos numéricos aditivos utilizadas
inicialmente también fueron remplazadas por hechos numéricos derivados de la
multiplicación en el tramo final del estudio.
Usando números naturales con alumnado de 6 a 12 años, Ivars y Fernández (2016) mostraron la evolución y el tipo
de estrategias usadas en la resolución de problemas de estructura
multiplicativa. Las estrategias identificadas fueron:
modelización-gráfica, conteo, uso de hechos numéricos, uso del
algoritmo y multiplicación como suma de sumandos
iguales. En cuanto a la evolución, se observó que el uso del
algoritmo (correcta o incorrectamente) remplaza al uso de varias estrategias de
modelización y conteo, a medida que se avanza en el sistema educativo. Asimismo,
Schoenfeld et al. (2017a), (2017b) han mostrado la evolución del
pensamiento en el uso de estrategias en los problemas tanto de multiplicación
como de división: estrategias no multiplicativas (p. ej.
algoritmo incorrecto), estrategias aditivas tempranas (p. ej.
conteo/correspondencia uno a uno), estrategias aditivas (p. ej.
adición/sustracción repetida), estrategias transicionales
tempranas (p. ej. conteo a saltos), estrategias
transicionales (p. ej. modelo de área, búsqueda del cociente por
ensayo-error a través de la operación inversa o una introducción al algoritmo de
la división) y estrategias multiplicativas (p. ej. hechos
numéricos o el algoritmo de la división).
Centrada en los problemas de división-medida y división-partitiva, Downton (2009) mostró que las estrategias
más utilizadas por estudiantes de 8-9 años eran hechos numéricos conocidos y
derivados. Además, Downton mostró que las estrategias de conteo se usaron más en
los problemas de división-medida y la adición/sustracción repetida sólo en los
problemas de división-partitiva. La modelización directa fue utilizada de manera
similar en ambos problemas.
En cuanto a las estrategias usadas en resolución de problemas de estructura
multiplicativa con fracciones, los estudios realizados son escasos (Empson y Levi, 2011; Greer, 1992). En este sentido, Empson y Levi distinguen
cuatro tipos de estrategias: modelización directa,
adición repetida, agrupamiento y
combinación, y estrategias multiplicativas.
Además, se han identificado errores en el alumnado de Primaria al afrontar
problemas de división: de tipo procedimental o dificultades para interpretar el
resto. Los errores de tipo procedimental se vinculan tanto a los números
naturales, al no considerar el valor de posición olvidando añadir ceros al
cociente, como a las fracciones, al no realizar correctamente el producto
cruzado (Greer, 1992). En cuanto a la
dificultad para interpretar el resto, podría estar asociada a la creencia de que
la solución a un problema es directamente el resultado de la operación (Callejo y Vila, 2009).
Estudios previos (p. ej. Bell et al., 1984;
Levain, 1992) se han enfocado en
analizar la influencia del conjunto numérico en la resolución de problemas de
estructura multiplicativa utilizando naturales y decimales como conjuntos
numéricos. Otros estudios (p. ej. Ivars y
Fernández, 2016; Mulligan,
1992) se han centrado en analizar qué estrategias de resolución
utilizaban los estudiantes en esta tipología de problemas; no obstante, el
conjunto numérico utilizado en los problemas de estos estudios ha sido
principalmente de números naturales. El objetivo de esta investigación es
analizar cómo los estudiantes de Primaria y Secundaria resuelven problemas de
isomorfismo de medidas con naturales y fracciones, analizando tanto el nivel de
éxito como el tipo de estrategias utilizadas. Además, se analiza la evolución de
5o. de Primaria a 2o. de Secundaria (10-14 años). Las preguntas de investigación
fueron:
-¿Qué nivel de éxito obtienen los estudiantes de 10 a 14 años en
problemas de isomorfismo de medidas con naturales y fracciones?
-¿Qué estrategias utilizan los estudiantes en la resolución de cada
tipo de problema con naturales y fracciones?
II. Método
En este estudio exploratorio-descriptivo participaron 403 estudiantes de educación
Primaria y Secundaria de tres centros diferentes de España de tres centros
diferentes. La Tabla 1 muestra la
distribución de los participantes:
Participantes por curso
Educación Primaria
Educación Secundaria
Curso
5o.
6o.
1o.
2o.
Participantes
93
84
120
106
De acuerdo al currículo español el alumnado se inicia en la multiplicación con
naturales en 2o. curso de Primaria y en la división en 3o.; en cuanto a las
fracciones, se introducen en 3o. con el significado de parte-todo. A partir de este
curso se introducen también los algoritmos con fracciones.
Para la recogida de datos se diseñó un cuestionario con nueve problemas (ver Tabla 2): tres de multiplicación (M), tres de
división-partitiva (DP) y tres de división-medida (DM). En cada tipo de problema se
varió el conjunto numérico utilizado: un problema con números naturales (N) y dos
problemas con fracciones; uno con fracciones unitarias (FU) y otro con fracciones
propias no unitarias (FP). En los problemas de división-medida se pregunta por el
cociente y por la interpretación del resto.
Problemas del cuestionario y características
Tipos de problemas
Problemas
Multiplicación con números naturales (M-N)
Juan está comprando la bebida para la fiesta de
cumpleaños que celebra mañana. Si compra 5
packs de 6 l/atas de refresco, ¿cuántas
latas de refresco habrá en la fiesta?
Multiplicación con fracción unitaria (M-FU)
El abuelo de Marcos tiene una huerta en Murcia. 23 del terreno lo destina a plantar verduras. En 15 de esta parte del terreno hay plantadas tomateras.
¿Qué parte total del terreno está destinada al cultivo de
tomates?
Multiplicación con fracción propia no unitaria
(M-FP)
Carlos se ha comido 23 de la tarta que quedaba en la nevera. Si en la
nevera quedaban 35, ¿qué parte de la tarta se ha comido?
División-partitiva con números naturales
(DP-N)
Si 4 amigos van a una pizzería y piden 5 pizzas
pa/ra compartir a partes iguales. ¿Qué parte de pizza comerá
cada amigo?
División-partitiva con fracción unitaria
(DP-FU)
María tiene una botella de colonia de 12 litro. Quiere distribuir su contenido en 5
botellitas pequeñas, de manera que cada una tenga la misma
cantidad de colonia. ¿Cuántos litros contendrá cada
botellita?
División-partitiva con fracción propia no unitaria
(DP-FP)
Un brik de zumo contiene 34 de litro. Si 4 amigos deciden repartir su contenido
de manera que todos beban la misma cantidad. ¿Cuánto beberá cada
amigo?
División-medida con números naturales (DM-N)
Durante el viaje de fin de curso, 40 alumnos se
alojarán en un albergue. En cada habitación se pueden alojar un
máximo de 6 alumnos. ¿Cuántas habitaciones necesitan?
División-medida con fracción unitaria (DM-FU)
Marta tiene 78 de un metro de cuerda y quiere cortarlos en trozos
de 14 de metro. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá Marta?
¿Qué parte de la cuerda sobra?
División-medida con fracción propia no unitaria (DM-FP)
Al pastelero le quedan 34 de kilo de azúcar para hacer la última bandeja de
bizcochos. Cada bizcocho contiene 310 de kilo de azúcar. ¿Cuántos bizcochos puede
elaborar? ¿Cuánto azúcar sobra?
Los participantes dispusieron de 50 minutos para resolver el cuestionario de manera
individual en su aula habitual del grupo-clase. Las únicas instrucciones que
recibieron fueron que debían justificar sus respuestas y que no podían utilizar
calculadora ni dispositivos electrónicos.
2.1 Análisis de los datos
El análisis se realizó en dos fases. En la primera fase se analizaron los niveles
de éxito de los estudiantes por curso en cada tipo de problema, y en la segunda
fase se analizaron las estrategias correctas e incorrectas usadas en la
resolución.
Fase 1. Análisis de los niveles de éxito. En cada problema se codificaron con un
“1” los procedimientos correctos, sin considerar los errores de cálculo, y con
un “0” los procedimientos incorrectos (Tabla
3).
Ejemplo de análisis del nivel de éxito
Resolución al problema DP-FP
Codificación
Descripción
0
Utiliza el algoritmo de la multiplicación en un
problema de división-partitiva, resolviendo incorrectamente
el problema.
1
Usa el algoritmo de la división y resuelve correctamente el
problema de división-partitiva.
Fase 2. Análisis de las estrategias de resolución. En segundo lugar se analizaron
los procedimientos utilizados identificando estrategias tanto correctas como
incorrectas. Inicialmente se realizó un análisis conjunto por parte de tres
investigadores, de una muestra de respuestas a los diferentes problemas, para
generar descriptores de las estrategias que parecían estar utilizando los
estudiantes en cada problema. Según se analizaban nuevas respuestas, dichos
descriptores se iban refinando. Este proceso se repitió para cada problema y,
por último, en conjunto, se consideraron las estrategias de todos los problemas
para observar si existían evidencias de solapamiento entre ellas.
Este proceso de análisis permitió identificar seis estrategias de resolución
correctas y siete estrategias incorrectas. A continuación, se detallan las
características de cada una de ellas.
Algoritmo. Respuestas en las que los estudiantes emplean un algoritmo
correcto. Se incluyen las respuestas en las que el estudiante opera con los
números del enunciado (Figura 1) o
realiza una conversión previa al uso del algoritmo (Figura 2).
Uso del algoritmo en el problema M-N (estudiante de 5o.
Primaria)
Uso del algoritmo en el problema DM-FP (estudiante de 2o.
Secundaria)
Estrategia gráfica. Resolución usando una representación gráfica. Se incluyen
representaciones gráficas que ofrecían el resultado tanto en registro
simbólico como en registro gráfico. Por ejemplo, en la Figura 3 el estudiante encuentra una parte de otra parte
gráficamente en el problema M-FU. Para ello representa 23 gráficamente, especificando la región destinada al cultivo de
verduras. Enseguida, representa 15 (parte destinada a tomates). Por último, identifica que la parte
común en ambas representaciones es la respuesta al problema: 215 (registro simbólico).
Estrategia gráfica con resultado en registro simbólico en el
problema M-FU (estudiante de 2o. Secundaria)
En la Figura 4 el estudiante marca 25 en el dibujo realizado, pero no ofrece el resultado en registro
simbólico.
Estrategia gráfica con resultado en registro gráfico en el
problema M-FP (estudiante 6o. Primaria)
Algoritmo y estrategia gráfica. Se trata del uso combinado de ambas
estrategias para resolver el problema. La Figura 5 muestra cómo el estudiante emplea el algoritmo de la
multiplicación para calcular 5 packs de 6 latas y, a su
vez, representa la situación con un dibujo.
Uso del algoritmo y estrategia gráfica en el problema M-N
(estudiante de 2o. Secundaria)
Sumas/restas sucesivas. Uso de sumas o restas sucesivas para resolver el
problema. Se incluyen tanto las sumas/restas realizadas con los números del
enunciado como aquellas precedidas por una conversión (fracción - expresión
con coma). Por ejemplo, el estudiante de la Figura 6, a partir de los 34 de kilo de azúcar sobrantes, va restando 310 de kilo (el azúcar de un bizcocho). Tras realizar dos restas,
resuelve que pueden elaborarse 2 bizcochos y que el resultado de la última
operación es la cantidad de azúcar sobrante, ya que 320 es un número inferior a 310.
Uso de restas sucesivas en el problema DM-FP (estudiante de
2o. Secundaria)
Regla de tres usada correctamente. Se relacionan los datos
multiplicativamente igualando los productos cruzados. En la Figura 7 el estudiante identifica una
situación de proporcionalidad directa y aplica el algoritmo de productos
cruzados, x=5∙61=30 latas.
Uso de la Regla de tres en el problema M-N (estudiante 2o.
Secundaria)
Hechos numéricos. Uso del conocimiento de las tablas de multiplicar. Por
ejemplo, usar la tabla de multiplicar del 6 para resolver el problema DM-N.
Como 6 habitaciones de 6 estudiantes son 36 huéspedes y 7 habitaciones de 6
estudiantes son 42, para albergar 40 estudiantes se necesitarán 7
habitaciones (ver Figura 8).
Uso de hechos numéricos en el problema DM-N (estudiante de
1o. Secundaria)
<bold>En cuanto a las estrategias <italic>incorrectas</italic>
identificadas:</bold>
Algoritmo incorrecto. Uso de un algoritmo incorrecto en el problema. Por
ejemplo, utilizar el algoritmo de la multiplicación en una situación de
reparto (Figura 9).
Uso del algoritmo de la multiplicación en el problema DP-FP
(estudiante de 1o. Secundaria)
Algoritmo correcto sin finalizar. Se usa un algoritmo correcto, pero el
procedimiento de cálculo es incorrecto. Por ejemplo, en la Figura 10 el estudiante resuelve la
multiplicación de fracciones como producto cruzado.
Uso de algoritmo correcto sin finalizar en el problema M-FU
(estudiante de 6o. Primaria)
Interpretación errónea del resto. Esta estrategia engloba las respuestas que
no consideran, o no interpretan adecuadamente, el resto. Por ejemplo, al
resolver el problema DM-FP el estudiante ofrece como respuesta que el azúcar
sobrante es 612, es decir, 12; sin considerar que la fracción restante es una parte del
divisor: 12 de 310, es decir, 320 (Figura 11).
Interpretación errónea del resto en el problema DM-FP
(estudiante de 2o. Secundaria)
Interpretación errónea del resultado. Respuestas en las que, a pesar de
emplear una estrategia correcta, el estudiante no interpreta adecuadamente
el resultado obtenido. Por ejemplo, para resolver el problema DM-FU el
estudiante debe atender a la fracción resultante como número mixto: 288=3+48=3+12, siendo el cociente 3 y el resto 12 de 14. Sin embargo, la Figura 12
muestra cómo el estudiante no interpreta adecuadamente el resultado, pues
ofrece como resultado la fracción resultante y como resto la fracción
resultante convertida a expresión con coma.
Interpretación errónea del resultado en el problema DM-FU
(estudiante de 1o. Secundaria)
Sumas/restas sucesivas sin finalizar. Uso de sumas/restas sucesivas, pero el
resolutor presenta dificultades al sumar/restar sin reducir las fracciones a
común denominador. La Figura 13
muestra que el estudiante resta sucesivamente sin antes reducir las
fracciones a común denominador. Además, emplea el algoritmo de la
sustracción erróneamente (resta numeradores y denominadores).
Uso de restas sucesivas sin finalizar en el problema DM-FU
(estudiante de 6o. Primaria)
Regla de tres usada incorrectamente. Se relacionan los datos de forma
multiplicativa de forma errónea, es decir, no se igualan los productos
cruzados correctamente. Por ejemplo, en la Figura 14 el estudiante no identifica el esquema propio de un
problema de división-partitiva, pues no asocia que 34 de litro son para 4 personas y que la incógnita del problema es
qué fracción de litro obtendrá cada persona, es decir, la igualdad de los
productos cruzados sería: 14=x34
Uso erróneo de la Regla de tres en el problema DP-FP
(estudiante de 2o. Secundaria)
Blanco/sin sentido. Respuestas en blanco, que ofrecen sólo el resultado u
operaciones/procedimientos sin sentido atendiendo a la estructura y/o
contenido del problema.
III. Resultados
Los resultados se presentan en dos secciones. En la primera se muestra el nivel de
éxito global y su evolución desde 5o. de Primaria a 2o. de Secundaria. En la segunda
se presentan los resultados obtenidos en cuanto al uso y la evolución de estrategias
de resolución, correctas e incorrectas, utilizadas por los estudiantes.
3.1 Niveles de éxito en la resolución de problemas
La Tabla 4 muestra los porcentajes
globales de respuestas correctas por curso y tipo de problema. Los estudiantes
tuvieron más éxito en los problemas de multiplicación, seguidos de los de
división-partitiva y, por último, los de división-medida (a excepción de 1o. de
Secundaria). En cuanto a la evolución, el nivel de éxito aumenta progresivamente
hasta 1o. de Secundaria en los tres tipos de problemas. Sin embargo, en la
transición de 1o. a 2o. curso este aumento sólo se produce en los problemas de
división-medida. En general, se observan niveles de éxito bajos en todos los
cursos, particularmente en 2o., que no logra el 40% de éxito en ninguno de los
tres tipos de problemas.
Porcentajes de respuestas correctas por curso y tipo de
problema
Curso
Multiplicación
División-partitiva
División-medida
5o.
35.5
21.5
9.7
6o.
36.9
30.5
15.1
1o.
38.7
41.9
23.3
2o.
37.7
37.1
24.5
La Tabla 5 muestra el nivel de éxito por
curso y problema considerando las cantidades involucradas. Los problemas con
números naturales tuvieron más éxito que con fracciones en cada tipo de
problema. Estas diferencias son especialmente llamativas en los problemas de
multiplicación, en los que, con números naturales, se logra un porcentaje de
éxito igual o superior al 95% en todos los cursos, mientras que con fracciones
se obtienen porcentajes entre un 0% y 14.2%.
Porcentajes de respuestas correctas por curso y problema
Curso
M-N
M-FU
M-FP
DP-N
DP-FU
DP-FP
DM-N
DM-FU
DM-FP
5o.
96.8
0.0
9.7
49.5
10.8
4.3
25.8
2.2
1.1
6o.
97.6
2.4
10.7
45.2
27.4
19.0
38.1
1.2
6.0
1o.
95.0
6.7
14.2
50.8
40.8
34.2
55.8
5.0
9.2
2o.
96.2
10.4
6.6
53.8
37.7
19.8
50.0
7.5
16.0
3.2 Estrategias de resolución por problema y curso<bold>Estrategias <italic>correctas</italic>:</bold>
La Tabla 6 muestra los porcentajes de
uso de las estrategias correctas identificadas en cada tipo de problema por
curso. A partir de 6o. curso el algoritmo es la estrategia
más utilizada, globalmente, en los tres tipos de problemas. Los estudiantes
utilizaron en menor medida otras estrategias. En los problemas de
división-medida el uso de sumas/restas sucesivas adquiere
presencia en todos los cursos; mientras que en los problemas de
división-partitiva se utiliza con más frecuencia la estrategia
gráfica, siendo la más utilizada en 5o. curso. En los problemas
de multiplicación la estrategia gráfica adquiere menor
relevancia que en los otros tipos de problemas.
Porcentajes de uso de las estrategias correctas por curso y
tipo de problema
Tipo de problema
Estrategias
Curso
5o.
6o.
1o.
2o.
Multiplicación
Algoritmo
31.2
33.7
35.6
34.7
Estrategia gráfica
3.6
2.8
2.3
1.2
Algoritmo y estrategia gráfica
0.7
0.4
0.8
1.2
Regla de tres usada correctamente
0.0
0.0
0.0
0.6
División-partitiva
Algoritmo
5.4
21.0
31.4
24.5
Estrategia gráfica
15.3
9.5
9.4
12.0
Algoritmo y estrategia gráfica
0.4
0.0
0.3
0.3
Sumas/restas sucesivas
0.0
0.0
0.8
0.3
Hechos numéricos
0.4
0.0
0.0
0.0
División-medida
Algoritmo
8.2
13.9
18.4
15.1
Estrategia gráfica
0.4
0.0
0.5
0.9
Algoritmo y estrategia gráfica
0.4
0.0
0.0
0.0
Sumas/restas sucesivas
0.7
0.4
2.2
4.7
Hechos numéricos
0.0
0.8
2.2
3.8
La Figura 15 permite observar las
diferencias en el uso de estrategias para cada problema considerando las
cantidades involucradas: naturales o fracciones. En los problemas de
multiplicación con fracciones propias (M-FP) se usa la estrategia
gráfica, mientras que con fracciones unitarias (M-FU) y
naturales (M-N) la estrategia más usada es el algoritmo. En
los problemas de división-partitiva con fracciones (DP-FU y DP-FP) se
utiliza el algoritmo; en cambio, la estrategia más
utilizada con naturales (DP-N), en todos los cursos, es la
estrategia gráfica, aunque también se utiliza el
algoritmo. Finalmente, en los problemas de
división-medida con fracciones (DM-FU y DM-FP) se usan con mayor frecuencia
las sumas/restas sucesivas, mientras que con naturales
(DM-N) se usan las estrategias algoritmo y hechos
numéricos.
Porcentajes de uso de las estrategias correctas por curso y
problema
Los resultados obtenidos indican que los estudiantes consideran distintas
estrategias correctas de resolución para problemas con estructura idéntica.
Es decir, estos resultados parecen sugerir que los estudiantes tienen
dificultades para reconocer la estructura de la situación y aplicar
estrategias de resolución que les daban buenos resultados con naturales a
situaciones en las que se incluyen fracciones. En los problemas de
multiplicación y división-medida con naturales (M-N y DM-N) se reconoce la
situación a modelar y se utiliza mayoritariamente el algoritmo; sin embargo,
en las situaciones con fracciones esta estrategia se utiliza mayormente en
los problemas de multiplicación con fracciones unitarias (M-FU). En el resto
de los problemas, con fracciones de estos dos tipos (M-FP, DM-FU y DM-FP),
los estudiantes tienden a utilizar estrategias correctas de modelización
(estrategia gráfica) y aditivas (sumas/restas
sucesivas) que les ayudan a resolver la situación. Por lo que
respecta a los problemas de división-partitiva, la situación con naturales
(DP-N) generó un uso mayoritario de estrategias de modelización
(estrategia gráfica) que los estudiantes tampoco
lograron extender a las situaciones con fracciones (DP-FU y DP-FP). A
continuación, se muestran las estrategias erróneas más utilizadas por los
estudiantes para intentar explicar los resultados obtenidos en cuanto a
niveles de éxito.
La Tabla 7 muestra los porcentajes de
uso de las estrategias incorrectas en cada tipo de problema por curso. De
manera general, las estrategias incorrectas con mayor presencia en cada tipo
de problema son el uso de algoritmo incorrecto o respuestas
en blanco/sin sentido. Sin embargo, se observa la aparición
de algunas estrategias incorrectas, aunque en menor medida, vinculadas a un
tipo de problema concreto. En los problemas de división-partitiva destaca el
uso del algoritmo correcto sin finalizar, mientras que en
los problemas de división-medida se emplea la interpretación errónea
del resto e interpretación errónea del
resultado.
Porcentajes de uso de las estrategias incorrectas por curso y
tipo de problema
Tipo de problema
Estrategias
Curso
5o.
6o.
1o.
2o.
Multiplicación
Algoritmo incorrecto
26.2
26.2
26.4
21.7
Algoritmo correcto sin finalizar
0.0
3.6
0.5
2.5
Interpretación errónea del resultado
0.7
0.0
0.3
0.3
Blanco/sin sentido
37.6
33.3
34.1
37.8
División-partitiva
Algoritmo incorrecto
13.3
13.1
11.4
10.7
Algoritmo correcto sin finalizar
9.0
15.9
8.9
17.0
Interpretación errónea del resto
1.4
3.6
0.8
0.3
Interpretación errónea del resultado
2.9
1.2
1.4
1.2
Regla de tres usada incorrectamente
0.0
0.0
0.0
1.3
Blanco/sin sentido
51.9
35.7
35.6
32.4
División-medida
Algoritmo incorrecto
22.2
20.6
13.4
10.7
Algoritmo correcto sin finalizar
2.2
5.2
3.9
5.0
Interpretación errónea del resto
15.0
17.8
9.4
12.3
Interpretación errónea del resultado
0.0
4.3
8.6
7.9
Sumas/restas sucesivas sin finalizar
0.7
0.4
0.8
0.0
Blanco/sin sentido
50.2
36.6
40.6
39.6
La Figura 16 muestra las diferencias en
el uso de estrategias en un mismo tipo de problema según las cantidades
involucradas: naturales o fracciones. En los problemas de multiplicación la
única diferencia entre el problema con naturales (M-N) y los problemas con
fracciones (M-FU y M-FP) es que, en estos últimos, en ocasiones aparece la
estrategia algoritmo correcto sin finalizar, indicando que
tienen dificultades multiplicando fracciones.
Porcentajes de uso de las estrategias incorrectas por curso y
problema
En cuanto a los problemas de división-partitiva con fracciones (DP-FU y
DP-FP) se observa el uso de algoritmo correcto sin
finalizar, mientras que con naturales (DP-N) aparecen
estrategias como interpretación errónea del resto e
interpretación errónea del resultado; aunque siempre
con menor frecuencia que las respuestas en blanco/sin
sentido. Por último, en los problemas de división-medida con
fracciones (DM-FU y DM-FP), además de las respuestas en blanco/sin
sentido o algoritmo incorrecto, destaca el uso
de algoritmo correcto sin finalizar e
interpretación errónea del resultado. En cambio, con
naturales (DM-N) la interpretación errónea del resto es la
estrategia incorrecta más usada.
Estos resultados sugieren que las dificultades de los estudiantes con las
situaciones con naturales parecen vinculadas a una falta de comprensión de
las situaciones que les empuja a dejar las respuestas en blanco o bien a
utilizar un algoritmo incorrecto. Además, en los problemas de división
aparecen dificultades con la aparición de interpretación errónea del
resultado o del resto. En los problemas con
fracciones se repite la situación, aunque en este caso emerge la estrategia
algoritmo correcto sin finalizar en la que los
estudiantes, a pesar de reconocer la situación y usar un algoritmo correcto,
muestran dificultades al operar.
3.3 Evolución de las estrategias
La Figura 17 muestra la evolución del uso
de estrategias correctas e incorrectas desde 5o. de Primaria hasta 2o. de
Secundaria.
Evolución de los porcentajes de uso de estrategias correctas e
incorrectas
El uso de algoritmo tiene una importante presencia desde los
primeros cursos en la resolución de los diferentes problemas. Además, su uso
aumenta progresivamente a medida que avanzan los cursos, aunque en el último
curso desciende. Este descenso coincide con el aumento de estrategias
incorrectas como algoritmo correcto sin finalizar e
interpretación errónea del resto, que muestra que los
estudiantes tienen dificultades con las operaciones y con la interpretación del
resto en una división.
En los primeros cursos el uso de algoritmo se combina con la
estrategia gráfica. Conforme avanzamos hacia cursos
superiores los resultados muestran que los estudiantes añaden a su repertorio
otras estrategias correctas, como sumas/restas sucesivas o
hechos numéricos.
Respecto a las estrategias incorrectas, el uso de algoritmo
incorrecto y blanco/sin sentido tiende a descender
a lo largo de los cursos, a medida que aumenta el nivel de éxito. Asimismo,
simultáneo a este descenso, se observa un aumento en el uso del
algoritmo correcto sin finalizar e interpretación
errónea del resultado. Esto parece sugerir, por una parte, que
aunque los estudiantes no responden correctamente al problema, reconocen la
operación implícita en la estructura del mismo. Por otra parte, aunque los
estudiantes identifican un algoritmo correcto, siguen teniendo dificultades para
considerar las relaciones que se establecen entre las cantidades, tanto para
realizar el cálculo como para considerar una solución apropiada. Además, la
estrategia interpretación errónea del resto muestra una cierta
tendencia a disminuir a medida que nos dirigimos hacia los cursos superiores, es
decir, los estudiantes empiezan a reconocer que la solución al problema no es el
resultado de la operación y aportan respuestas más coherentes con la situación
planteada.
IV. Discusión
Los resultados sobre los niveles de éxito (inferiores al 35% en todos los cursos)
muestran que los estudiantes tuvieron dificultades en la resolución de problemas de
isomorfismo de medidas. Considerando la estructura del problema, los resultados
obtenidos muestran que se obtuvo mayor éxito en problemas de multiplicación que en
problemas de división en general y un mayor nivel de éxito en los problemas de
división-partitiva que en los de división-medida. Este último resultado (mayor nivel
de éxito en problemas división-partitiva que división-medida) concuerda con el
estudio de Bell et al. (1984) y difiere del de
Levain (1992), quien no encontró
diferencias en el nivel de éxito entre ambos tipos de problemas. Las diferencias en
los resultados podrían explicarse considerando los diferentes niveles educativos de
los participantes en ambos estudios y por el tipo de representación usada; mientras
que en nuestro estudio se usan fracciones, en Levain
(1992) se usan decimales. Sin embargo, a pesar de las dificultades, se
observa un incremento en el nivel de éxito de cada tipo de problema conforme se
avanza hacia cursos superiores, a excepción del intervalo de 1o. a 2o. curso de
Secundaria, donde esta tendencia se ve alterada.
Por otro lado, en línea con Empson y Levi
(2011), los resultados muestran menores niveles de éxito (y, por tanto,
mayor dificultad) en la resolución de los problemas con fracciones que con números
naturales. Estos resultados indican que los estudiantes tuvieron dificultades para
identificar que la estructura de los problemas era idéntica usando naturales o
fracciones.
Además, los resultados muestran diferencias en el nivel de éxito según el tipo de
fracción (unitaria o no unitaria) utilizada. En los problemas de división-partitiva
hubo mayor nivel de éxito en los problemas con fracciones unitarias que no unitarias
coincidiendo con estudios previos (Empson y Levi,
2011). Sin embargo, en algunos de los cursos, en los problemas de
multiplicación y división-medida hubo mayor nivel de éxito en los problemas con
fracciones propias no unitarias que unitarias. Nuestra interpretación es que otras
variables del problema (como podrían ser el contexto del problema o el lenguaje
utilizado en el enunciado del problema) parecen tener influencia sobre los niveles
de éxito de los estudiantes, por lo que los resultados invitan a seguir indagando
sobre estas diferencias.
Por otro lado, aunque nuestros resultados muestran que la estrategia más utilizada
independientemente de la situación es el algoritmo, se han
identificado diferencias en su uso y el uso de otras estrategias atendiendo a las
cantidades implicadas (naturales o fracciones), por lo que los estudiantes
consideraron distintas estrategias correctas de resolución para problemas con
estructura idéntica. En los problemas de multiplicación y división-medida con
naturales la estrategia más utilizada en todos los cursos es el
algoritmo. Sin embargo, con fracciones, el nivel de éxito es
muy bajo coincidiendo con un aumento del uso de algoritmo
incorrecto o algoritmo correcto sin finalizar. Esta
dificultad puede estar vinculada a la aplicación sistemática de un algoritmo
desprovisto de significado, en situaciones con naturales que les son más familiares
(Erlwanger, 1973), o la memorización de
las reglas para operar con fracciones que llevan a generalizaciones incorrectas
(Üzel, 2018). El uso de estrategias de
modelización puede ayudar a los estudiantes a centrar su atención en las relaciones
que subyacen a las cantidades.
En el caso de los problemas de división-partitiva, la estrategia
gráfica es la estrategia más usada en los problemas con naturales en
todos los cursos. Sin embargo, los estudiantes parecen no considerar esta estrategia
como válida en los problemas con fracciones y presentan dificultades que se
manifiestan con la aparición del uso de algoritmo correcto sin
finalizar.
Por lo que respecta a la evolución en el uso de estas estrategias, a lo largo de los
cursos se observa una disminución del uso de estrategias de modelización
(estrategia gráfica) que se ven sustituidas por estrategias
aditivas (sumas/restas sucesivas) y un aumento del uso del
algoritmo. Estos resultados coinciden y amplían los obtenidos
por Ivars y Fernández (2016). A medida que
avanzamos en el sistema educativo, Educación Primaria y Secundaria, el uso del
algoritmo remplaza al resto de estrategias. Los resultados muestran que este
remplazo ocurre mayoritariamente en problemas con naturales, lo cual podríamos
atribuir a la dificultad que presentan los estudiantes al afrontar problemas con
fracciones (Empson y Levi, 2011).
Por otro lado, entre las estrategias incorrectas más frecuentes, las respuestas en
blanco/sin sentido y el uso de un algoritmo
incorrecto destacan en todos los problemas. El uso de estas estrategias
en los problemas con números naturales podría indicar dificultades en la comprensión
de las situaciones. En los problemas con fracciones se repite la situación, aunque
en este caso emerge la estrategia algoritmo correcto sin finalizar
en la que los estudiantes, a pesar de reconocer la situación y usar un algoritmo
correcto, muestran dificultades al operar.
Entre las estrategias incorrectas en problemas de división con naturales aparece la
interpretación errónea del resto, que podría atribuirse a la
creencia de que el resultado de la operación es la solución al problema (Callejo y Vila, 2009). También podría estar
relacionado con una falta de atención al contexto del problema tras dividir y tener
que ofrecer una respuesta, un error muy común en las evaluaciones del alumnado
(Van de Walle et al., 2019). Para centrar
la atención del alumnado en la interpretación del resto, el uso de estrategias más
básicas de modelización/conteo tales como la estrategia gráfica,
permitirían visualizar la situación planteada en el problema. De hecho, aunque en
este estudio los estudiantes no consideraron el uso de estas estrategias más
básicas, existen evidencias de que el alumnado recurre a estas estrategias
preliminarmente a la aplicación del algoritmo al resolver problemas en los que el
resto posee un papel relevante (Silver et al.,
1993). Además, el progreso del uso de estrategias incorrectas desde 5o.
hasta 2o. muestra que el algoritmo incorrecto e
interpretación errónea del resto descienden, mientras que el
algoritmo correcto sin finalizar aumenta. Este hecho sugiere
que el alumnado ya reconoce la operación que deriva de la estructura del problema y
comienza a emplear el algoritmo estándar.
V. Conclusiones
Los resultados obtenidos del análisis de los niveles de éxito y las estrategias
muestran las dificultades que, en general, afrontan los estudiantes al resolver
problemas de isomorfismo de medidas y, en particular, cuando las cantidades
numéricas utilizadas son fracciones. En su resolución, las estrategias más
utilizadas por los estudiantes (tanto incorrectas como correctas) son la aplicación
del algoritmo, aunque hemos mostrado cómo el conjunto numérico hacía emerger
distintas estrategias. Considerando que estos problemas presentan una estructura
matemática independiente del conjunto numérico con el que se esté trabajando, los
resultados obtenidos tienen implicaciones para la enseñanza.
Si la instrucción en las aulas se centrara en ayudar a los estudiantes a identificar
la estructura de los problemas y razonar sobre las relaciones entre sus cantidades,
desarrollando el pensamiento relacional desde las primeras edades (Cañadas et al., 2019; Empson et al., 2011; Schulz,
2018), podría potenciarse la competencia de los estudiantes para pensar
en las relaciones y propiedades matemáticas que subyacen a los distintos problemas,
evitando el uso generalizado de un algoritmo de cálculo desprovisto de significado.
Además, el fomento de estrategias alternativas de resolución, que los estudiantes
tienen a su disposición, podría favorecer la comprensión de estas relaciones entre
las cantidades. Partiendo de estas estrategias, y con un progresivo aumento de la
complejidad en los problemas, se favorece el uso de estrategias de resolución más
sofisticadas y las conexiones matemáticas (Downton y
Sullivan, 2017). Este cambio de perspectiva en las aulas, centrado en la
reflexión sobre las relaciones matemáticas entre las cantidades, podría facilitar el
desarrollo de un pensamiento relacional cada vez más sofisticado en los estudiantes
y, además, apoyar la transición de la aritmética al álgebra (Castro y Molina, 2007).
Para finalizar, una de las limitaciones de este trabajo es que, al ser un estudio
exploratorio-descriptivo, los resultados no permiten establecer las causas de las
dificultades derivadas de los niveles de éxito y las diferencias en cuanto a las
estrategias usadas en cada tipo de problema, sino conjeturar posibles factores que
pudieron influir. Somos conscientes de que otros factores podrían estar influyendo,
como el formato del problema (texto) u otras variables (socioculturales,
lingüísticas o cognitivas). Por tanto, son necesarias investigaciones centradas en
esclarecer estos factores. Por ejemplo, el diseño de entrevistas centradas en cómo
los estudiantes están resolviendo los problemas podría contribuir a determinar las
causas de estas dificultades, o un estudio longitudinal podría ayudar a determinar
el porqué de los cambios entre los cursos.
Agradecimientos
Esta investigación ha recibido el apoyo de la Conselleria d’Educació, Investigació,
Cultura i Esport de la Generalitat Valenciana (España; I-PI 21-19,
PROMETEO/2017/135) y del Ministerio de Universidades (España; FPU19/02965).
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realidad. Trillas.VergnaudG.1997El niño, las matemáticas y la realidadTrillas
Cómo citar: Zorrilla, C., Ivars, P. y Fernández, C. (2023).
Estrategias para resolver problemas de estructura multiplicativa con naturales y
fracciones. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 25,
e15, 1-19. https://doi.org/10.24320/redie.2023.25.e15.4407