redieRevista electrónica de investigación educativaREDIE1607-4041Universidad Autónoma de Baja California, Instituto de Investigación
y Desarrollo Educativo10.24320/redie.2022.24.e01.4167101ArtículosActividad matemática creativa y desarrollo del talento matemático a
través del modelo praxeológicoCreative Mathematical Activity and Developing Mathematical Talent
Through the Praxeological Model0000-0002-2900-481XBarraza-GarcíaZeidy Margarita10000-0002-1364-5997Romo-VázquezAvenilde20000-0001-8580-2763Roa-FuentesSolange3Instituto Politécnico NacionalInstituto Politécnico NacionalMexicoCentro de Investigación y de Estudios
AvanzadosCentro de Investigación y de Estudios
AvanzadosInstituto Politécnico NacionalMexicoUniversidad Industrial de
SantanderUniversidad Industrial de
SantanderColombia08022022202224e011105202016122020Este es un artículo publicado en acceso abierto bajo una licencia
Creative CommonsResumen
Se presenta un modelo teórico para el estudio del talento matemático,
fundamentado en la Teoría Antropológica de lo Didáctico y la noción de
creatividad. En dicho modelo se proponen dos componentes de la actividad
matemática creativa: la Componente Matemática, que sustenta las técnicas
matemáticas; y la Componente Creativa, definida por cuatro funciones: producir
técnicas nuevas, optimizar técnicas, considerar tareas desde diversos ángulos y
adaptar una técnica. Con base en los modelos Teórico y Epistemológico de
Referencia sobre sucesiones infinitas, se genera un diseño didáctico conformado
por seis situaciones problemáticas y se implementa en una institución creada
para potenciar el talento matemático. El análisis de dos tareas realizadas por
una pareja de niños constituye un estudio de caso, que permite ilustrar que
enfrentar tareas retadoras de un mismo tipo, bajo condiciones institucionales
propicias, posibilita el desarrollo del talento matemático.
Abstract
This paper presents a theoretical model for the study of mathematical talent,
grounded in the Anthropological Theory of Didactics (ATD) and the notion of
creativity. This model proposes two components of creative mathematical
activity: the mathematical component, which supports mathematical techniques;
and the creative component, defined by four functions: producing new techniques,
optimizing techniques, considering tasks from different angles, and adapting a
technique. Based on the theoretical model and a reference epistemological model
on infinite sequences, a learning design comprising six problem situations was
developed and then implemented in an institution established to foster
mathematical talent. The analysis of two tasks performed by a pair of children
offers a case study that illustrates how tackling challenging tasks of the same
kind, in a favorable institutional setting, makes it possible to develop
mathematical talent.
<italic>Palabras clave:</italic>creatividadtalentogeneralizaciónmatemáticas<italic>Keywords:</italic>creativitytalentgeneralizationmathematicsPrograma de Movilidad de la Vicerrectoría de Investigación y
Extensión de la Universidad Industrial de Santander
(VIE-UIS)C-2018-01I. Introducción
En la literatura existe una diversidad de paradigmas, modelos y definiciones sobre el
talento (Mhlolo, 2017). Según Tourón (2019) existen dos paradigmas referentes
al talento: el tradicional y el actual. El paradigma tradicional está estrechamente
relacionado con el concepto de inteligencia, y con pruebas estandarizadas como la de
Cociente Intelectual; en éste, el talento es visto como un rasgo innato y no
cambiante. Esta concepción biológica del talento que destaca un desarrollo acelerado
de las funciones del cerebro más eficiente o eficaz de los individuos es una idea
arraigada (Clark, 2011). Sheffield (2017) menciona que este paradigma,
referente a una habilidad matemática determinada genéticamente, puede ser una
creencia peligrosa tanto para los estudiantes que creen no tener una “mente
matemática”, como para los que son considerados talentosos y experimentan una gran
presión por las expectativas generadas sobre su rendimiento.
En contraste, en el paradigma actual el talento es multifacético y evoluciona dadas
las condiciones de los individuos. En particular, Villarraga et al. (2004) reconocen que el talento no es fijo, pues tiene
posibilidades de desarrollarse bajo circunstancias adecuadas y con un acompañamiento
estimulante. Sin embargo, no se tiene suficiente evidencia sobre cómo se logra dicho
desarrollo.
Singer et al. (2016) señalan que en la
mayoría de los modelos y enfoques el talento es definido como el potencial para
realizar una actividad determinada de manera exitosa. En particular, sobre el
talento matemático destacan acercamientos desde las perspectivas profesional y
escolar. Por ejemplo, Krutetskii (1976)
define el talento matemático profesional como el conjunto único de habilidades
matemáticas que abre la posibilidad de un desempeño exitoso en la actividad
matemática y, desde una perspectiva escolar, como la posibilidad de un dominio
creativo de la disciplina. Esta relación entre el talento y el dominio creativo de
la matemática ha sido objeto de investigación desde hace varias décadas; aunque la
palabra creatividad no siempre fue presentada explícitamente, se encuentran
características que la aluden como: desarrollo de soluciones únicas para resolver
problemas, flexibilidad, interpretación de la información de los problemas de manera
original, entre otras asociadas al talento (Greenes,
1981; House, 1987). Esta relación
creatividad-talento en la investigación en Educación Matemática sigue siendo un tema
abierto. Leikin (2011) sostiene que la
investigación sobre la educación para sujetos con talento y su relación con la
creatividad debe ser orientada en dos direcciones interrelacionadas: una teórica y
una aplicada. La primera para comprender la naturaleza de la creatividad y el
potencial matemático, y la segunda para desarrollar el potencial matemático y
fomentar la creatividad matemática.
En lo que refiere a la atención del talento se observan dos corrientes: atención de
forma diferenciada a partir de la identificación y caracterización de sujetos con
talento (Brody, 2005; Dimitriadis, 2011), y atención desde un enfoque inclusivo
(Boaler, 2016; Oktaç et al., 2011), que exige desarrollar propuestas
didácticas para grupos heterogéneos.
En síntesis, el talento matemático está estrechamente relacionado con la creatividad
matemática, el talento es desarrollable, y por tanto es necesario producir modelos
teóricos para comprender las condiciones que hacen posible dicho desarrollo. Con
base en lo anterior, esta investigación adopta una visión amplia del talento
matemático, lo define como el potencial que un sujeto evidencia al enfrentar
exitosamente cierto tipo de tareas que, en efecto, generan una actividad matemática
creativa. Se plantea como hipótesis que el desarrollo del talento matemático no
depende únicamente de las características de los sujetos; sino, además, de
condiciones adecuadas que posibilitan su desarrollo. Para probar o refutar dicha
hipótesis, en esta investigación se produce un diseño didáctico especializado y se
implementa en una institución creada para desarrollar el talento matemático.
En este artículo se analiza la actividad creativa de una pareja de estudiantes y se
organiza en cuatro secciones. La primera está dedicada al Modelo Praxeológico del
Talento Matemático, su génesis y conformación. En la segunda se presenta el estudio,
las fases de concepción del diseño didáctico, las condiciones de implementación y el
rol de la instructora. La tercera se destina a los resultados basados en el análisis
de la actividad de una pareja de estudiantes y, por último, en la cuarta se
presentan la discusión y conclusiones.
1.1 Modelo Praxeológico para el Desarrollo del Talento (MPTM): génesis y
desarrollo
El MPTM se enmarca en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) y en la
noción de creatividad (Karwowski et al.,
2017; Kattou et al., 2013;
Mann et al., 2017; Sriraman, 2005).
La TAD es una teoría que permite el estudio de la actividad humana en su
dimensión institucional (Bosch et al.,
2019). La institución se define como una organización social estable
que permite enfrentar tareas problemáticas de manera eficaz, gracias a los
recursos materiales e intelectuales puestos a disposición de sus sujetos y a las
condiciones establecidas para la realización de dichas tareas (Castela y Romo-Vázquez, 2011). Las
instituciones enmarcan la actividad humana y la hacen posible, por ejemplo, una
clase, un programa de atención al talento, una industria, etc. La unidad mínima
de análisis de la actividad humana es la praxeología, conformada por cuatro
componentes: tipo de tarea T, técnica τ, tecnología θ y teoría Θ. El tipo de tarea es “lo que se hace”, la técnica es “la forma en
que se hace”, las tecnologías son “los discursos que producen, explican y
validan las técnicas”, y la teoría corresponde a “discursos más generales que
producen, explican, validan y justifican las tecnologías” (Chevallard, 2019).
La construcción y reconstrucción de una praxeología está asociada a seis momentos
de estudio: el encuentro con la tarea (M1) se trata de un primer acercamiento a
algún elemento de la praxeología; el momento exploratorio (M2), donde surge la
necesidad de proponer una o más técnicas para resolver la cuestión problemática;
el momento del trabajo con la técnica (M3), donde se exploran variantes de las
técnicas producidas e incluso se mejoran; el tecnológico teórico (M4), en el que
se reconocen elementos comunes en las técnicas desarrolladas, identificando sus
limitaciones y alcances; el momento de institucionalización (M5) permite
identificar los tipos de tareas de manera precisa, las técnicas asociadas y el
discurso tecnológico que las sostiene, y el momento de la evaluación (M6) en el
que se determina la amplitud de las técnicas producidas y la pertinencia del
discurso tecnológico (Chevallard, 2002).
Las praxeologías tienen diferentes niveles de complejidad: puntual, local,
regional y global (Chevallard, 2002). La
praxeología puntual se define por tener un tipo de tarea, una técnica, una
tecnología, y una teoría; la local engloba varias praxeologías puntuales que
tienen una misma tecnología; la regional está conformada por varias praxeologías
locales que tienen la misma teoría; la global está conformada por varias
praxeologías regionales; y por último, la praxeología disciplinar engloba todas
las anteriores. Estos niveles se ilustran con el tema de las sucesiones (Figura 1).
Anidamiento de praxeologías matemáticas.
Los niveles praxeológicos permiten organizar la obra matemática mediante un
Modelo Epistemológico de Referencia (MER), que se construye a partir del estudio
de diferentes fuentes (por ejemplo, obras históricas, tratados, libros de texto)
y constituye un referente para interpretar la actividad matemática a partir de
las tareas que se plantean, las técnicas que se generan y las tecnologías
asociadas (Sierra, 2006).
La creatividad matemática, por su parte, frecuentemente se relaciona con cuatro
componentes: 1) fluidez, 2) flexibilidad, 3) originalidad (Kattou et al., 2013) y 4) elaboración (Assmus y Frizlar, 2018; Mann et al., 2017; Schindler et al., 2018). De manera general se utiliza el
término creatividad para referirse a la capacidad de producir
nuevas ideas, enfoques o acciones y manifestarlas desde el pensamiento a la
realidad (Vale y Pimentel, 2011). En un
nivel escolar, Sriraman (2005) define la
creatividad a partir de los procesos de resolución que resultan inusuales o
perspicaces, y la formulación de nuevas posibilidades que permiten considerar
los problemas ya vistos desde un nuevo ángulo.
El MPTM, inicialmente presentado en Barraza-García
et al. (2020), al igual que otros desarrollos del modelo
praxeológico, se basa en los trabajos de Castela
y Romo-Vázquez (2011) y de Chaachoua
et al. (2019). En el MPTM los tipos de tareas y las técnicas están
sustentadas en dos componentes de la tecnología: matemática θm y creativa θc. La componente matemática θm está asociada a lo que en otros marcos conceptuales se conoce como
habilidades matemáticas -razonar matemáticamente, economizar el pensamiento,
expresar pensamiento lógico y secuencial, abstraer, generalizar, entre otros-
que integran elementos provenientes principalmente de instituciones matemáticas
(enseñanza de las matemáticas y las matemáticas como disciplina). La componente
creativa θc está conformada por los elementos que posibilitan la producción de
técnicas únicas, inusuales, flexibles y perspicaces que integran elementos
provenientes, primordialmente, de la experiencia en diferentes instituciones
-familia, escuela, calle, clubes, entre otros.
En el MPTM se identifican cuatro instituciones referentes para desarrollar el
talento matemático: la productora de matemáticas P(M), la Enseñanza de las
Matemáticas E(M), la Atención al Talento Matemático AT(M) y la Vida V. El MPTM
se representa a través de la praxeología creativa que aparece en la Figura 2.
Representación gráfica del MPTM
La componente matemática θm del MPTM se corresponde con la tecnología de una praxeología
matemática que valida, explica y justifica las técnicas matemáticas; la
componente creativa θc, se corresponde con la creatividad, y tiene cuatro funciones
tecnológicas:
F1. Producir técnicas únicas: ante una tarea novedosa se
producen diferentes pasos sin seguir una rutina. A partir de la
exploración de la tarea y de su relación con lo conocido se generan
nuevas ideas y se construyen nuevas técnicas. Por ejemplo, proponer
la descomposición de una tarea en subtareas de menor dificultad y
posteriormente unirlas para recomponer la tarea y lograr la
consigna.
F2. Optimizar la técnica: considerar un abanico de rutas
que permiten realizar la tarea, eligiendo la “óptima” en función del
número de pasos y de los conocimientos matemáticos en juego. Elegir,
por ejemplo, la construcción de una regla general (verbal, icónica,
o alfanumérica) en lugar de producir una sucesión de dibujos, para
determinar las propiedades de un término desconocido en una
secuencia figural.
F3. Considerar tareas desde diversos ángulos: consiste
en analizar la tarea sin restringirse a cierto dominio (Álgebra,
Geometría, etc.) o incluso a cierta disciplina (Física, Artes
Visuales, etc.), ya sea produciendo pasos que van guiados a realizar
la consigna de la tarea (reconociendo los saberes que motivan a
seguir por un camino o cambiar de rumbo) o produciendo diversas
técnicas para la realización de una misma tarea.
F4. Adaptar una técnica: consiste en identificar el
funcionamiento, los alcances y las limitaciones de una técnica
producida, para implementarla en otra tarea con ciertas
modificaciones. Primero se valida la técnica para posteriormente
adaptarla e incluso mejorarla en la resolución de otra tarea.
Estas funciones se caracterizan por no seguir un orden de aparición y, además,
por estar estrechamente relacionadas entre ellas; por ejemplo, la función de
producir técnicas únicas (F1) y de considerar tareas desde diversos ángulos (F3)
puede surgir a partir de adaptar o de optimizar una técnica (F4 y F2). Así, la
actividad matemática creativa se hace evidente cuando en una tarea se establece
una relación entre la componente creativa y la componente matemática. Una
hipótesis del MPTM es que, ante una “tarea retadora” (Sriraman, 2005), la componente creativa favorece el
desarrollo de la componente matemática.
II. Método
Esta investigación es de corte cualitativo y siguió una metodología de estudio de
casos (Thomas, 2015). La concepción del
diseño didáctico y su análisis se basa en las cuatro fases de la ingeniería
didáctica Artigue (2008), considerando la
forma en que han sido adaptadas en la TAD (Barquero y
Bosch, 2015) y que en esta investigación son las siguientes: 1)
construcción del MER de las sucesiones reales infinitas, 2) conformación de la
praxeología local “sucesiones reales infinitas” y análisis a
priori, 3) implementación y análisis in vivo y 4) análisis
a posteriori.
2.1 Fase 1. El MER de las sucesiones reales infinitas
Las instituciones P(M), E(M) y AT(M) fueron consideradas mediante el análisis de
diversas fuentes para conformar el MER. Primero se analizó el origen de las
sucesiones recurriendo a obras matemáticas P(M) y a estudios históricos (Bustamante, 2017). Posteriormente se
examinaron libros de texto de análisis matemático y de educación básica de la
Secretaría de Educación Pública en México, así como los principios y estándares
de la educación matemática (National Council of
Teachers of Mathematics, 2000), representantes de E(M), y estudios
del talento matemático, representantes de AT(M). Las praxeologías identificadas
aparecen en la Figura 3:
Esquema praxeológico del estudio de sucesiones infinitas en
instituciones del tipo E(M) y AT(M)
Se identifica la praxeología local de las sucesiones reales infinitas sustentada
en la tecnología matemática del principio de inducción, que garantiza que todos
los términos de la sucesión están determinados por una regla general,
relacionada con un patrón en dos dominios, geométrico y numérico. La praxeología
local base del diseño didáctico se detalla a continuación:
El tipo de tarea consiste en determinar la regla an de una sucesión infinita para n∈N.
La técnica general consta de tres pasos asociados a los primeros cuatro momentos
del estudio:
Estudiar los primeros términos y determinar la relación entre los
primeros ai y los i=1,2,3,… (M1 y M2).
Construir reglas generales para el término n-ésimo (M2 y M3).
Implementar las reglas construidas en (2), para términos específicos
cercanos y lejanos dentro de la sucesión, por ejemplo, para
n=10 o n=20 (M2 y M3) y validarla para n+1 (M4).
La tecnología matemática θm es el principio de inducción que valida la regla an para una sucesión figural, numérica o figural con ayuda tabular,
mediante la generalización recursiva y/o algebraica. La generalización
recursiva aparece cuando se encuentran coincidencias observadas en
los términos base (campo perceptual), a partir de ello se considera una relación
de dependencia entre an y an+1. Con base en esto se construye y valida una regla para el término
an+1 que depende del término anterior an (campo inferencial). Este proceso es útil para determinar términos
“cercanos” de una sucesión (Radford,
2010; Rivera 2013; Vergel, 2015). La generalización
algebraica se evidencia cuando se construye una regla o expresión
verbal, basada en los términos del campo perceptual o en la regla recursiva, que
determina una relación de dependencia entre ny el término de la secuencia an (sin la necesidad de obtener el término anterior an-1), para nϵN. Ésta funciona para determinar valores “cercanos” y “lejanos” (Radford, 2010; Rivera 2013; Vergel,
2015). Finalmente, la teoría que sustenta la θm es el Análisis Matemático.
2.2 Fase 2. La praxeología local “sucesiones reales infinitas”
Para conformar la praxeología local “sucesiones reales infinitas” se eligieron
seis situaciones problemáticas, cuyo tipo de tarea era determinar la regla
an de una sucesión infinita para n∈N, y que habían sido consideradas en investigaciones relacionadas con
el talento matemático y el proceso de generalización. Cada situación
problemática está compuesta de un conjunto de tareas abiertas y retadoras. Sus
técnicas permiten generar conexiones entre diferentes dominios, específicamente
entre la Aritmética, el Álgebra y la Geometría, característica altamente
relacionada con la creatividad en otros estudios (Sala et al., 2016) y con la función tecnológica de abordar
técnicas desde diferentes perspectivas y caminos (F3) del MPTM. Las tareas
permiten la exploración y producción de los tres pasos generales de la técnica,
se parte de una exploración intuitiva de los primeros casos (M1); se sigue con
un análisis de la relación entre los términos y se identifica una regla general
que permite encontrar cualquier término de la secuencia, a partir de un patrón
de construcción. Las seis situaciones problemáticas fueron organizadas en un
nivel de complejidad creciente, con el objetivo de evidenciar la componente
creativa mediante técnicas cada vez más sofisticadas y la evolución en la
componente matemática y, en efecto, el desarrollo del talento matemático. Por
tanto, se presentan a continuación las dos primeras situaciones del diseño
didáctico (figuras 4 y 5) y la tercera en la sección de resultados:
Situación 1 del diseño didáctico implementado
Situación 2 del diseño didáctico implementado
La situación 1 fue propuesta en la primera sesión por estar asociada a una regla
exponencial, poco explorada por estudiantes de esas edades. En la tarea 2 para
el cálculo de área no se solicitó una regla algebraica an=3n4n, el análisis se centró en los incrementos y, por lo tanto, en la
producción de una regla recursiva an+1=34an.
En esta situación se propone material concreto para la construcción de las reglas
de generalización algebraicas del tipo an2+n. Se incluyó en la Tarea 3 una subtarea sobre el proceso creativo de
invención de un patrón a partir de la adaptación y optimización de las técnicas
elaboradas en las primeras dos tareas.
<bold>2.3 Fase 3. La implementación, sus condiciones, y el análisis
<italic>in vivo</italic>
</bold>
El diseño didáctico se implementó en un Club de Matemáticas (CM), institución
creada con financiamiento del gobierno de Baja California (México) a condición
de contar con la participación de 25 escuelas públicas. Se aplicó un instrumento
con 5 tareas abiertas de Combinatoria, que permitió elegir 26 estudiantes, 12
niñas y 14 niños, de quinto y sexto de primaria (10-12 años). Se desarrollaron
10 sesiones, 8 estuvieron enfocadas en la implementación del diseño didáctico, y
fueron videograbadas y transcritas. En las otras dos sesiones, inicial
(presentación) y final (cierre), se contó con la participación de los padres de
familia. Los estudiantes trabajaron en pareja, sin restricción al trabajo
individual y grupal.
La implementación del diseño didáctico estuvo a cargo de una instructora
(investigadora y autora de este artículo) cuyo rol es descrito con relación a
los momentos de estudio. Para hacer aparecer el momento de encuentro con la
tarea (M1), la instructora orientaba a los estudiantes a identificar lo que
pedía la tarea y exploraba con todo el grupo, conceptos -infinitud de la recta,
el plano- que pudieran ser no familiares para ellos; además motivaba al grupo a
explorar la relación entre los ai y los i, particularmente para los primeros casos de cada secuencia. Para los
momentos exploratorios y los de trabajo con la técnica (M2 y M3) la instructora
proponía subtareas verbalizadas a las parejas -quienes tenían libertad para
realizar trabajo autónomo. Asimismo, cuando las parejas lograban realizar la
consigna de la tarea, se les incentivaba a considerar técnicas desde otros
ángulos (F3). De manera general, la instructora mostraba interés en todas las
técnicas de los estudiantes, animándolos a explicar, comparar e intentar nuevos
caminos de solución o explorar casos particulares. Al final de las sesiones se
proponía un trabajo grupal en el que los estudiantes exponían las técnicas
logradas, discutían su validez, pertinencia y economía (menor número de pasos
para realizar la tarea) y enriquecían sus experiencias (M4, M5 y M6). El
análisis in vivo se desarrolló casi al mismo tiempo que se
implementaba el diseño, permitiendo generar ajustes basados en el trabajo de los
estudiantes.
<bold>2.4 Fase 4. Análisis <italic>a posteriori</italic>
</bold>
El análisis a posteriori se basó en el MPTM y en los momentos
del estudio, elucidando la actividad matemática creativa de los estudiantes y el
desarrollo del talento matemático, como se ilustra a continuación.
III. Resultados
Los resultados que se presentan se basan en el análisis del trabajo de una pareja de
estudiantes, al enfrentar dos tareas de la situación problemática 3 (Figura 6), que permiten ilustrar la evolución de
las funciones creativas. Es decir, constituyen un caso representativo de estudio
(Thomas, 2015).
Tareas de la situación 3 presentadas en la cuarta sesión del
CM
Esta situación, implementada en la tercera sesión, es una adaptación de un problema
propuesto en Rivera (2013), para ejemplificar
tres tipos de razonamiento inferencial: abductivo, inductivo y deductivo, durante el
proceso de generalización y permite a los estudiantes tener un primer acercamiento a
la formulación de expresiones cuadráticas del tipo an2+bn+c, para n,a,b,c∈N. Con la Tarea 1 se pretende que los estudiantes construyan técnicas que
podrían ser implementadas en la Tarea 2. Ambas tareas consisten en determinar una
regla an algebraica que permita obtener cualquier término, cercano o lejano de la
secuencia (por ejemplo, n=10,n=20,n=500).
La técnica para resolver estas tareas consiste en construir una relación entre el
número de cuadrados y el número de la etapa o término, siguiendo tres grandes pasos:
1) estudiar los primeros términos y construir una regla inicial para determinar una
relación entre la cantidad de cubos y el término de la secuencia (Figura 6); 2) construir una regla “abductiva”
(Rivera, 2013, p. 27) para el término
n - ésimo (ver Tabla 1)
y 3) verificar la regla general para el siguiente término, n+1.
Construcción del número de cuadrados de las tareas
Término
Cuadrados en la Tarea 1
Cuadrados en la Tarea 2
1
5
14
2
9
26
3
13
40
4
17
56
⋮
⋮
⋮
n
4n+1
n2+9n+4
En la Tabla 2 se muestran las técnicas
desarrolladas por los estudiantes (E1 y E2), así como la componente matemática y la
componente creativa en la Tarea 1.
Análisis praxeológico para la Tarea 1
Pasos de la técnica y su relación con los
momentos de estudio
Técnica de los estudiantes
Componentes matemática (θm) y creativa (>θc)
1. Explorar los primeros casos (M1).
E1: La primera etapa tiene 5 cuadrados, la
segunda tiene 9.
E2: Y la tercera tiene 13.
θm: identificación de una regularidad y
construcción de la regla recursiva
an+1=an+4.
2. Identificar un proceso recursivo a partir del
patrón numérico (M2).
E1: Entonces, ya sé. En la siguiente debe haber…
17 cuadrados.
E2: ¿Por qué?
E1: Porque en la segunda [etapa] se tienen 9; 4
más que en la primera [etapa]. Y en la tercera
[etapa] se tienen 4 más que en la segunda.
3. Identificar un proceso recursivo a partir del
patrón figural (M2).
E2: Ah, es que yo estaba pensando en otra cosa,
por ejemplo, aquí, hay 2 y 2 [refiriéndose a los
cuadros de los “extremos” que aparecen en la
primera etapa], y aquí hay 4 y 4 [refiriéndose a
la segunda etapa] y aquí hay 6 y 6 (Figura 7).
E1: Pero creo que sería lo mismo, porque la
siguiente tendría 8 y 8. O sea, 4 más que en la de
6 y 6.
E2: El problema es que si lo hacemos así, lo
vamos a hacer muy lento para otras figuras, porque
sería de uno en uno, sumando cuatro.
θc: E2 propone una técnica novedosa (F1)
en la que ‘deconstruye’ (Rivera, 2013) las etapas.
θm: identifica un patrón figural (Figura 8).
* La técnica es innovadora (F1) ya que los
estudiantes no la habían utilizado con
anterioridad.
4. Determinar una regla algebraica a partir de la
reconfiguración de los cuadrados (M3).
Instructora: ¿Qué han pensado?
E2: Es que, por ejemplo, aquí el 1 de la etapa es
cuando hay 1 cuadrado aquí y aquí, y lo mismo con
la etapa 2 y con la etapa 3.
Instructora: ¿Y para una etapa cualquiera cómo
sería?
E2: Sería la etapa por 2 y después ese resultado
lo sumamos dos veces porque en los dos lados hay
lo mismo y luego sumamos 1 del centro y ya.
θc: optimización (F2) de la regla
recursiva por E2.
θm: A partir del patrón figural, se
propone la regla algebraica an=2n×2+1
5. Implementar la regla algebraica para el término
n=20 (M3).
Instructora: Y, por ejemplo, ¿para la etapa 20
cuántos cuadros serían?
E2: Sería 20 por 2, 40, y luego por 2 otra vez,
quedarían 80 y más el del centro, serían 81
cuadrados.
θm: E2 implementa la regla algebraica para n=20.
6. Construir una nueva regla algebraica (M4).
E1: ¿O también podría salir de multiplicar el
número de la etapa por 4 y sumarle 1?
Instructora: ¿Por qué?
E1: Porque 2 por 2 es 4 y hay 4 lados en todas
las etapas.
θc: E1 optimiza la técnica de E2 (F2), propone una
nueva técnica a partir del patrón figural y del numérico (F3)
yθm: determina la regla algebraica an=4n+1.
Registro escrito de los estudiantes en la Tarea 1
Técnica sobre reconfiguración de las figuras en la Tarea 1
En los pasos 3, 4 y 6 de la técnica se observa cómo la componente creativa favorece
la producción de las reglas algebraicas; evidenciando una actividad matemática
creativa. El estudiante E2 ‘deconstruye’ (Rivera,
2013, p. 66) las figuras de cada etapa para encontrar dos reglas
algebraicas equivalentes; la primera emerge al identificar una simetría vertical en
las figuras de cada etapa (Figura 8). La
segunda, surge al identificar que cada conjunto de cuadrados de una esquina
corresponde al número de la etapa, que debe contarse cuatro veces y sumarle uno, el
cuadrado del centro.
A partir de estas dos reconfiguraciones, los estudiantes proponen reglas de
generalización que pueden ser implementadas para términos cercanon=4,n=5,…) y lejanos (n=100,n=200,…).
El trabajo en pareja permite a los estudiantes proponer dos técnicas distintas para
determinar reglas algebraicas. Además, la comunicación entre los estudiantes resulta
clave en el desarrollo de la creatividad, el estudiante E1 propone inicialmente una
estrategia basada en observar el patrón numérico, pero a partir de la interacción
con su compañero (E2), quien se había enfocado en el patrón figural, optimiza la
regla algebraica y la valida desde lo figural (“4 lados en todas las etapas”) y lo
numérico (2×2=4).
En la Tabla 3 se muestran las técnicas
desarrolladas por los estudiantes (E1 y E2) al realizar la Tarea 2, así como las
componentes, matemática y creativa, de la tecnología.
Análisis praxeológico para la Tarea 2.
Pasos de la técnica y su relación con los
momentos de estudio
Técnica de los estudiantes
Componentes matemática (θm) y creativa (θc)
1. Explorar los primeros casos (M1).
El estudiante E2 realiza un dibujo para la Imagen
4 y determina el número de cuadrados no sombreados
de ésta.
E1: En la Imagen 1 hay 14 cuadrados, en la
segunda hay 26 sombreados y en la tercera hay 40.
Pero creo que también hay que contar los que no
están sombreados… De esos son 16, 46 y 92.
θm identificación de un patrón figural que se
implementa en el dibujo de la Imagen 4. Se propone una técnica
que involucra un listado de la relación entre el número de la
imagen, los cuadros sombreados y los cuadros no sombreados.
2. Identificar un proceso recursivo a partir del
patrón numérico (M2).
Realizan una lista de los cuadrados sombreados y
de los no sombreados, de acuerdo al número de la
imagen (Figura
9).
E1: A ver, ¿y si los restamos?
E2: [Realizan las restas entre los cuadrados
sombreados y los no sombreados] serían 2, 20, 42 y
58.
E1: Pero es que no se me ocurre cómo siguen.
3. Determinar una regla algebraica para el patrón
de las esquinas (M3).
E2: Yo digo que mejor veamos las figuras, ¿qué te
parece que yo veo el patrón de las esquinas y tú
el del centro [refiriéndose al arreglo rectangular
que aparece en el centro de cada imagen]?
Instructora: ¿Qué han encontrado?
E2: [Refiriéndose al “patrón de las esquinas”] Yo
encontré que para estos se debe multiplicar el
número de la imagen por 2 y sumar por el cuadrado
del centro. Por ejemplo, para la imagen 3, hay 3
aquí y aquí y uno más del centro. Como hay 4
iguales, lo multiplicamos por 4 (Figura 10).
θc: producción de una técnica novedosa (F1) en la que
se subdivide la tarea principal en dos tareas de menor
dificultad. A partir de esto, se optimiza la técnica (F2) y
θm: se construye una regla algebraica para el
patrón esquinas(en). en=(2n+1)×4.
4. Determinar una regla algebraica para el patrón
del centro (M3).
E1: [Refiriéndose al “patrón del centro”] Y éste,
se parece mucho a uno que habíamos hecho en la
clase pasada. ¿Se acuerda? El de los cubos
[refiriéndose a la construcción 2 de la Figura 5].
E1: [Refiriéndose a la imagen 2] Y entonces creo
que sería 2 por 2, 4, más otros 2, da 6. Y para el
3, sería 3 por 3 más otros 3, que da 12.
E2: Y para sacar el patrón total ya sería el
patrón de esquina más el patrón del centro.
θc: E1 reconoce la aplicabilidad de una técnica en dos
tareas diferentes (F3): cubos de origami y cuadrados sombreados;
adapta esta técnica (F4) y θm construye una regla algebraica para el
patrón centro (an).cn=n2+n.
5. Implementar la regla algebraica para el término
n=20 (M3)
Instructora: Entonces, ¿cuántos cuadrados
sombreados habría en la imagen 100?
E2: Se debe multiplicar 100 por dos más uno, eso
multiplicarlo cuatro veces y después sumar lo del
centro, que sería 100 al cuadrado más 100.
θm: integración de las dos subtareas y determinación
del número de cuadrados sombreados (an). an=en+cn=2n+1×4+[n2+n].
Listado del estudiante E1 en el paso 2 de la técnica en la Tarea
2
Registro del estudiante E2 en el paso 3 de la técnica en la Tarea
2
Los estudiantes evidencian una actividad matemática creativa en los pasos 3 y 4,
específicamente al generar una técnica novedosa; dividiendo la tarea en dos
subtareas convenientes e integrando los resultados para realizar la consigna de la
Tarea 2. Asimismo, relacionan y adaptan la técnica de cubos de origami en esta nueva
tarea, lo que evidencia tres funciones de la componente creativa (F1, F2 y F4) y el
momento de trabajo de la técnica (M4). De la misma manera, se evidencia cómo la
técnica de ‘deconstrucción’ de la Tarea 1 es similar a la de la Tarea 2, al
considerar conjuntos de cuadrados en las esquinas y conjuntos de cuadrados en el
centro (F4). La reconfiguración de las tres tareas de los estudiantes es ilustrada a
continuación (Figura 11).
Reconfiguración de las etapas para tres tareas distintas
Además, se observa que la reconfiguración del patrón figural en la última tarea es
una combinación de los dos anteriores; específicamente, el patrón de las esquinas de
la Tarea 1 se relaciona con el patrón de las esquinas de la Tarea 2 y el patrón de
la tarea de cubos de origami (Figura 5) se
relaciona con el patrón central de la Tarea 2.
La experiencia con la construcción de la regla algebraica nn+1+2 en la tarea con cubos de origami fue fundamental para la construcción de
la regla algebraica nn+9+4 en la Tarea 2 (F4). La técnica de dividir en subtareas de menor
dificultad es implementada en diversas ocasiones por los estudiantes (F4). Por
ejemplo, cuando realizan una de las tareas de la situación 4 del diseño didáctico,
“Determinar cuántas intersecciones se forman entre cualquier número de rectas no
paralelas, de tal manera que solo dos rectas pueden ser concurrentes entre sí”, los
estudiantes proponen la regla algebraican(n+1)/2+1 bajo este mismo esquema. Las adaptaciones en sus técnicas (F4) les
permiten proponer técnicas novedosas (F1) para construir reglas cada vez más
sofisticadas y por tanto, la evolución de la componente matemática.
Respecto al trabajo en parejas, se observa que el estudiante E2 utiliza el trabajo en
equipo para dividir la tarea en dos subtareas y realizarla exitosamente. Aunque el
impacto de las estrategias basadas en el patrón figural del estudiante E2 es
evidente en el desarrollo de las dos tareas, el estudiante E1 persiste en
identificar los patrones numéricos. Lo que confirma el establecimiento de una
dialéctica entre el trabajo individual y el colectivo, tanto al interior de las
parejas como del grupo mismo, favoreciendo la manifestación de la actividad
matemática creativa.
El análisis de estas dos tareas, aunque limitado, permite ilustrar la forma en que el
diseño didáctico fue implementado para posibilitar el desarrollo del talento
matemático. La praxeología local conformada por las seis situaciones problemáticas
relacionadas con el mismo tipo de tarea “determinar la regla general en sucesiones
infinitas”, fue fundamental para que las funciones creativas aparecieran y
evolucionaran a lo largo del enfrentamiento de todas las tareas. El trabajo con los
primeros términos de la sucesión permitió a los estudiantes explorar libremente las
características de cada uno de los elementos, la relación entre éstos y determinar
términos subsecuentes. Las técnicas se fueron sofisticando, reinvirtiendo elementos
de técnicas utilizadas con anterioridad, adaptándolas y haciéndolas cada vez más
eficaces. La consigna: determinar una etapa, imagen o un término ‘alejado’, 20, 100,
resultó ser clave para evaluar cada técnica y ‘acercarse’ o encontrar la regla
general de la sucesión. Los estudiantes que inicialmente invertían mayor tiempo en
determinar la relación entre los primeros términos lograron producir técnicas
novedosas, compartirlas con el grupo y probar su validez.
IV. Discusión y conclusiones
En el modelo MPTM la actividad matemática creativa, que evidencia el talento
matemático, está caracterizada por la relación entre las componentes matemática
(θm) y creativa (θc) de la tecnología, basada en un Modelo Epistemológico de Referencia y
determinada por cierta institución. De manera particular, en el análisis de la
situación 3 desarrollada por la pareja de estudiantes se observa que proponer
técnicas únicas (F1), optimizar (F2) y adaptar técnicas (F4), así como considerar
tareas desde diversos ángulos (F3), en su conjunto (tablas 2 y 3), favoreció la
evolución de reglas de generalización, componente matemática de la tecnología. Esta
afirmación es consistente con la literatura del talento matemático y de la
creatividad, por ejemplo, Kattou et al.
(2013) concluyen que la creatividad matemática es un subcomponente de la
habilidad matemática. Sin embargo, en la literatura no se tiene un consenso sobre la
forma en que esto dos conceptos se vinculan, e incluso hay opiniones contradictorias
sobre esta relación (Singer et al., 2016). En
este sentido, esta investigación genera un aporte teórico que confluye con Sala et al. (2016) en el que las dimensiones de
la actividad matemática evidenciadas por los momentos del estudio están
estrechamente relacionadas con la creatividad.
De manera más precisa, esta investigación muestra que el desarrollo del talento
matemático requiere de la construcción de una praxeología local, que permite generar
un gran número de técnicas basadas en la misma tecnología, lo que favorece la
aparición de los momentos 4, 5 y 6. Analizar el límite y alcance de las técnicas
(M4) en tareas de un mismo tipo, permite optimizarlas (F2) y considerarlas desde
diferentes ángulos (F3). De la misma manera, evaluar las técnicas y sus elementos
(M5) en más de una situación problemática posibilita la institucionalización de la
actividad matemática creativa (M6). Es decir, se reconoce válido producir técnicas
inusuales, flexibles y únicas, sustentadas por tecnologías matemáticas, que pueden
ser de diferentes áreas, aritmética, álgebra o geometría. Estos momentos
corresponden a las dimensiones o procesos de la actividad matemática señalados en
Sala et al. (2016).
La construcción de esta praxeología local exige condiciones institucionales
propicias, trabajo colaborativo, en pequeño y gran grupo que posibiliten la
comunicación y discusión de ideas y conceptos matemáticos, asociada a la
manifestación de la creatividad (Shriki,
2010). Es importante destacar que las tareas retadoras propuestas en el
diseño didáctico y validadas por el análisis a priori basado en el
MPTM, requieren de una validación empírica (implementación), análisis in
vivo y a posteriori, ya que si las tareas resultan
rutinarias para uno o varios estudiantes, no se pondrá de manifiesto la componente
creativa ni se posibilitará el desarrollo del talento matemático. O bien quedará
sujeta a la gestión del diseño, obligando a generar in situ
variantes en las tareas.
La implementación de nuevos diseños didácticos en condiciones institucionales
similares en modalidades -presencial y virtual- permitiría ampliar las validaciones
empíricas del MPTM. Para ello, es necesario seguir la ruta metodológica aquí
expuesta y constituir praxeologías locales fundamentadas en un MER, que requieren la
elección de una tecnología matemática, y la propuesta de tareas abiertas y retadoras
relacionadas con dicha tecnología, que posibiliten la producción de técnicas no
establecidas. Técnicas que puedan generarse desde la exploración y reconocimiento de
relaciones y sofisticarse mediante variables didácticas, como en
este caso, determinar un ‘n’ suficientemente grande. Asimismo, sería de gran interés generar un
diseño didáctico basado en la invención de problemas, ya que este tipo de tarea está
altamente relacionada con la creatividad matemática (Dickman, 2018; Sala et al.,
2016). Lo que representa un reto en términos de la componente matemática que
se elija.
Se considera que el modelo MPTM puede ser utilizado para generar diseños didácticos
implementados en el aula regular, ya que en conjunto con el MER posibilita la
reorganización de los contenidos curriculares, en praxeologías matemáticas creativas
de nivel local. Esto requiere, sin embargo, un cambio de rol de los padres de
familia y un arduo trabajo del profesor de matemáticas; con el fin de superar
condiciones y restricciones institucionales caracterizadas por la rigidez
curricular, el aprendizaje centrado en el manejo de algoritmos y la enseñanza basada
en exposición de conceptos. Lo que es sumamente complejo, pero necesario para lograr
el desarrollo del talento matemático desde un enfoque inclusivo. De manera general,
el modelo MPTM es una herramienta teórica que permite enmarcar estudios sobre el
desarrollo del talento matemático bajo ciertas condiciones institucionales, ya que
éstas son fundamentales en la determinación de la actividad matemática creativa, que
pueden ser establecidas en el aula regular o en espacios de atención al talento.
Agradecimiento
Al proyecto C-2018-01 y el Programa de Movilidad de la Vicerrectoría de Investigación
y Extensión de la Universidad Industrial de Santander (VIE-UIS).
ReferenciasArtigue, M. (2008). Didactical design in mathematics education. En
C. Winslow (Ed.), Nordic research in mathematics education. Proceedings
from NORMA08 (pp. 7-16). Copenhague.ArtigueM.2008Didactical design in mathematics educationWinslowC.Nordic research in mathematics education. Proceedings from
NORMA08716CopenhagueAssmus, D. y Frizlar, T. (2018). Mathematical giftedness and
creativity in primary grades. En F. M. Singer (Ed.), Mathematical
creativity and mathematical giftedness (pp. 55-81).
Springer.AssmusD.FrizlarT.2018Mathematical giftedness and creativity in primary
gradesSingerF. M.Mathematical creativity and mathematical giftedness5581SpringerBarquero, B. y Bosch, M. (2015). Didactic engineering as a research
methodology: From fundamental situations to study and research paths. En A.
Watson y M. Ohtani (Eds.), Task design in mathematics
education. New ICMI study series (pp. 249-272).
Springer.BarqueroB.BoschM.2015Didactic engineering as a research methodology: From fundamental
situations to study and research pathsWatsonA.OhtaniM.Task design in mathematics educationNew ICMI study series249272SpringerBarraza-García, Z. M., Romo-Vázquez, A. y Roa-Fuentes, S. (2020). A
theoretical model for the development of mathematical talent through
mathematical creativity. Education Sciences,
10(4), 118.
https://doi.org/10.3390/educsci10040118Barraza-GarcíaZ. M.Romo-VázquezA.Roa-FuentesS.2020A theoretical model for the development of mathematical talent
through mathematical creativityEducation Sciences10411811810.3390/educsci10040118Boaler, J. (2016). Mathematical mindsets.
Jossey-Bass.BoalerJ.2016Mathematical mindsetsJosseyBosch, M., Chevallard, Y., García, F. J. y Monaghan, J. (Eds.)
(2019). Working with the anthropological theory of the didactic in
mathematics. Routledge.BoschM.ChevallardY.GarcíaF. J.MonaghanJ.2019Working with the anthropological theory of the didactic in
mathematicsRoutledgeBrody, L. (2005). The study of exceptional talent. High
Ability Studies, 16(1), 87-96.
https://doi.org/10.1080/13598130500115304BrodyL.2005The study of exceptional talentHigh Ability Studies161879610.1080/13598130500115304Bustamante, E. (2017). Un modelo epistemológico de referencia
asociado a las sucesiones en la educación básica regular del Perú [Tesis de
maestría no publicada]. Pontificia Universidad Católica del Perú. BustamanteE.2017Un modelo epistemológico de referencia asociado a las sucesiones en la
educación básica regular del PerúmaestríaPontificia Universidad Católica del PerúCastela, C. y Romo-Vázquez, A. (2011). Des mathématiques a
l’automatique: étude des effets de transposition sur la transformée de Laplace
dans la formation des ingénieurs [De las matemáticas a la automática: estudio de
los efectos de la transposición sobre la transformación de Laplace en la
formación de ingenieros]. Recherches en Didactique des
Mathématiques, 31(1), 79-130. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3635944CastelaC.Romo-VázquezA.2011Des mathématiques a l’automatique: étude des effets de
transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs
[De las matemáticas a la automática: estudio de los efectos de la
transposición sobre la transformación de Laplace en la formación de
ingenieros]Recherches en Didactique des Mathématiques31179130https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3635944Chaachoua, H., Bessot, A., Romo-Vázquez, A. y Castela, C. (2019).
Developments and functionalities in the praxeological model. En M. Bosch, Y.
Chevallard, F. J. García y J. Monaghan (Eds.), Working with the
anthropological theory of the didactic (pp. 41-60).
Routledge.ChaachouaH.BessotA.Romo-VázquezA.CastelaC.2019Developments and functionalities in the praxeological
modelBoschM.ChevallardY.GarcíaF. J.MonaghanJ.Working with the anthropological theory of the didactic4160RoutledgeChevallard, Y. (2002). Organiser l’étude [Organiza el estudio]. En
J. L. Dorier (Ed.), Actes de la 11éme École d´éte de didactique des
mathématiques (pp. 3-22). La pensée Sauvage.ChevallardY.2002Organiser l’étude [Organiza el estudio]DorierJ. L.Actes de la 11éme École d´éte de didactique des mathématiques322La pensée SauvageChevallard, Y. (2019). Introducing the anthropological theory of the
didactic: an attempt at a principled approach. Hiroshima Journal of
Mathematics Education, 12, 71-114. https://www.jasme.jp/hjme/download/05_Yves%20Chevallard.pdfChevallardY.2019Introducing the anthropological theory of the didactic: an
attempt at a principled approachHiroshima Journal of Mathematics Education1271114https://www.jasme.jp/hjme/download/05_Yves%20Chevallard.pdfClark, B. (2011). No child is just born gifted: Creating and
developing unlimited potential. En J. L. Jolly, D. J. Treffinger, T. F. Inman y
J. F. Smutny (Eds.), Parenting for high potential (pp. 4-11).
Prufrock Press.ClarkB.2011No child is just born gifted: Creating and developing unlimited
potentialJollyJ. L.TreffingerD. J.InmanT. F.SmutnyJ. F.Parenting for high potential. 4.11Prufrock PressDickman, B. (2018). Creativity in question and answer digital spaces
for mathematics education: A case study of the water triangle for proportional
reasoning. En V. Freiman y J. L. Tassell (Eds.), Creativity and
Technology in Mathematics Education (pp. 233-248).
Springer.DickmanB.2018Creativity in question and answer digital spaces for mathematics
education: A case study of the water triangle for proportional
reasoningFreimanV.TassellJ. L.Creativity and Technology in Mathematics Education233248SpringerDimitriadis, C. (2011). Developing mathematical ability in primary
school through a ‘pull-out’ program: A case study. Education 3-13.
International Journal of Primary, Elementary and Early Years
Education, 39(5), 467-482.
https://doi.org/10.1080/03004271003769939DimitriadisC.2011Developing mathematical ability in primary school through a
‘pull-out’ program: A case studyEducation 3-13. International Journal of Primary, Elementary and Early
Years Education39546748210.1080/03004271003769939Greenes, C. (1981). Identifying the gifted student in mathematics.
The Arithmetic Teacher, 28(6), 14-17.
https://www.jstor.org/stable/41191796GreenesC.1981Identifying the gifted student in mathematicsThe Arithmetic Teacher2861417https://www.jstor.org/stable/41191796House, P. A. (1987). Providing opportunities for the
mathematically gifted, K-12. Reston.HouseP. A.1987Providing opportunities for the mathematically gifted, K-12RestonKarwowski, M., Jankowska, D. M. y Szwajkowski, W. (2017).
Creativity, imagination, and early mathematics education. En R. Leikin y B.
Sriraman (Eds.), Creativity and giftedness (pp. 183-199).
Springer.KarwowskiM.JankowskaD. M.SzwajkowskiW.2017Creativity, imagination, and early mathematics
educationLeikinR.SriramanB.Creativity and giftedness183199SpringerKattou, M., Kontoyianni, K., Pitta-Pantazi, D. y Christou, C.
(2013). Connecting mathematical creativity to mathematical ability. ZDM
Mathematics Education, 45(2), 167-181.
https://doi.org/10.1007/s11858-012-0467-1KattouM.KontoyianniK.Pitta-PantaziD.ChristouC.2013Connecting mathematical creativity to mathematical
abilityZDM Mathematics Education45216718110.1007/s11858-012-0467-1Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathematical
abilities in schoolchildren. University of Chicago
Press.KrutetskiiV. A.1976The psychology of mathematical abilities in schoolchildrenUniversity of Chicago PressLeikin, R. (2011). The education of mathematically gifted students:
Some complexities and questions. The Mathematics Enthusiast,
8(1), 167-188. https://scholarworks.umt.edu/tme/vol8/iss1/9LeikinR.2011The education of mathematically gifted students: Some
complexities and questionsThe Mathematics Enthusiast81167188https://scholarworks.umt.edu/tme/vol8/iss1/9Mann, E. L., Chamberlin, S. A. y Graefe, A. K. (2017). The
prominence of affect in creativity: Expanding the conception of creativity in
mathematical problem solving. En R. Leikin y B. Sriraman (Eds.),
Creativity and giftedness (pp. 57-73).
Springer.MannE. L.ChamberlinS. A.GraefeA. K.2017The prominence of affect in creativity: Expanding the conception
of creativity in mathematical problem solvingLeikinR.SriramanB.Creativity and giftedness5773SpringerMhlolo, M. K. (2017). Regular classroom teachers’ recognition and
support of the creative potential of mildly gifted mathematics learners.
ZDM Mathematics Education , 49(1), 81-94.
https://doi.org/10.1007/s11858-016-0824-6MhloloM. K.2017Regular classroom teachers’ recognition and support of the
creative potential of mildly gifted mathematics learnersZDM Mathematics Education491819410.1007/s11858-016-0824-6National Council of Teachers of Mathematics. (2000).
Principles and standars for school mathematics.
Autor.National Council of Teachers of Mathematics2000Principles and standars for school mathematicsAutorOktaç, A., Roa-Fuentes, S. y Rodríguez, M. (2011). Equity issues
concerning gifted children in mathematics: a perspective from México. En B.
Atweh, M. Graven, W. Secada y P. Valero (Eds.), Mapping equity and
quality in mathematics education (pp. 351-364).
Springer.OktaçA.Roa-FuentesS.RodríguezM.2011Equity issues concerning gifted children in mathematics: a
perspective from MéxicoAtwehB.GravenM.SecadaW.ValeroP.Mapping equity and quality in mathematics education351364SpringerRadford, L. (2010). Layers of generality and types of generalization
in pattern activities. PNA, 4(2), 37-62. http://funes.uniandes.edu.co/609/RadfordL.2010Layers of generality and types of generalization in pattern
activitiesPNA423762http://funes.uniandes.edu.co/609/Rivera, F. D. (2013). Teaching and learning patterns in
school mathematics: Psychological and pedagogical.
Springer.RiveraF. D.2013Teaching and learning patterns in school mathematics: Psychological and
pedagogicalSpringerSala, G., Barquero, B., Monreal, N., Font, V. y Barajas, M. (2016).
Evaluación del potencial de creatividad matemática en el diseño de una c-unidad.
En J. A. Macías, A. Jiménez, J. L. González, M. T. Sánchez, P. Hernández, C.
Fernández, F. J. Ruiz, T. Fernández y A. Berciano (Eds.), Investigación
en Educación Matemática XX (pp. 469-478). SEIEM.SalaG.BarqueroB.MonrealN.FontV.BarajasM.2016Evaluación del potencial de creatividad matemática en el diseño
de una c-unidadMacías. A.JiménezA.GonzálezJ. L.SánchezM. T.HernándezP.FernándezC.RuizF. J.FernándezT.BercianoA.Investigación en Educación Matemática XX469478SEIEMSchindler, M., Joklitschke, J. y Rott, B. (2018). Mathematical
creativity and its subdomain-specificity. Investigating the appropriateness of
solutions in multiple solution tasks. En F. M. Singer (Ed.),
Mathematical creativity and mathematical giftedness (pp.
115-142). Springer.SchindlerM.JoklitschkeJ.RottB.2018Mathematical creativity and its subdomain-specificity.
Investigating the appropriateness of solutions in multiple solution
tasksSingerF. M.Mathematical creativity and mathematical giftedness115142SpringerSheffield, L. J. (2017). Dangerous myths about “gifted” mathematics
students. ZDM Mathematics Education49(1), 13-23.
https://doi.org/10.1007/s11858-016-0814-8SheffieldL. J.2017Dangerous myths about “gifted” mathematics
studentsZDM Mathematics Education491132310.1007/s11858-016-0814-8Shriki, A. (2010). Working like real mathematicians: Developing
prospective teachers’ awareness of mathematical creativity through generating
new concepts. Educational Studies in Mathematics,
73, 159-179.
https://doi.org/10.1007/s10649-009-9212-2ShrikiA.2010Working like real mathematicians: Developing prospective
teachers’ awareness of mathematical creativity through generating new
conceptsEducational Studies in Mathematics7315917910.1007/s10649-009-9212-2Sierra, T. A. (2006). Lo matemático en el diseño y análisis
de organizaciones didácticas. Los sistemas de numeración y la medida de
magnitudes continuas [Tesis doctoral no publicada]. Universidad
Complutense de Madrid.SierraT. A.2006Lo matemático en el diseño y análisis de organizaciones didácticas. Los
sistemas de numeración y la medida de magnitudes continuasdoctoralUniversidad Complutense de MadridSinger, F. M., Sheffield, L. J., Freiman, V. y Brandl, M. (Eds.)
(2016). Research on and activities for mathematically gifted
students. Springer Open.SingerF. M.SheffieldL. J.FreimanV.BrandlM.2016Research on and activities for mathematically gifted studentsSpringer OpenSriraman, B. (2005). Are giftedness and creativity synonyms in
mathematics? Journal of Secondary Gifted Education,
17(1), 20-36.
https://doi.org/10.4219/jsge-2005-389SriramanB.2005Are giftedness and creativity synonyms in
mathematics?Journal of Secondary Gifted Education171203610.4219/jsge-2005-389Thomas, G. (2015). How to do your case study.
Sage.ThomasG.2015How to do your case studySageTourón, J. (2019). Las altas capacidades en el sistema educativo
español: reflexiones sobre el concepto y la identificación. Revista de
Investigación Educativa, 38(1), 15-32.
https://doi.org/10.6018/rie.396781TourónJ.2019Las altas capacidades en el sistema educativo español:
reflexiones sobre el concepto y la identificaciónRevista de Investigación Educativa381153210.6018/rie.396781Vale, I. y Pimentel, T. (2011). Mathematical challenging
tasks in elementary grades. En M. Pytlak, T. Rowland y E. Swoboda
(Eds.), Proceedings of the seventh congress of the European Society for Research
in Mathematics Education (pp. 1154-1164). ERME.ValeI.PimentelT.2011Mathematical challenging tasks in elementary gradesPytlakM.RowlandT.SwobodaE.seventhcongress of the European Society for Research in Mathematics
Education11541164ERMEVergel, R. (2015). Generalización de patrones y formas de
pensamiento algebraico temprano. PNA , 9(3), 193-215. http://funes.uniandes.edu.co/6440/VergelR.2015Generalización de patrones y formas de pensamiento algebraico
tempranoPNA93193215http://funes.uniandes.edu.co/6440/Villarraga, M., Martínez, P. y Benavides, M. (2004). Hacia la
definición del término talento. En M. Benavides, A. Maz, E. Castro y R. Blanco
(Eds.), La educación de niños con talento en Iberoamérica (pp.
25-35). Trineo.VillarragaM.MartínezP.BenavidesM.2004Hacia la definición del término talentoBenavidesM.MazA.CastroE.BlancoR.La educación de niños con talento en Iberoamérica2535Trineo
Cómo citar: Barraza-García, Z. M., Romo, A. y Roa-Fuentes, S.
(2022). Actividad matemática creativa y desarrollo del talento matemático a
través del modelo praxeológico. Revista Electrónica de Investigación
Educativa, 24, e01, 1-18. https://doi.org/10.24320/redie.2022.24.e01.4167