Estrategias para resolver problemas de estructura multiplicativa con naturales y fracciones

Los problemas de isomorfismo de medidas (Vergnaud, 1997) presentan una estructura matemática independiente del conjunto numérico con el que se esté trabajando. Esto se debe a que la incógnita de un problema aritmético-algebraico está determinada por las relaciones establecidas en la formulación del problema. La resolución de dichos problemas implicaría, por tanto, que los estudiantes identificaran su estructura, razonando sobre las relaciones que se establecen entre las cantidades, independientemente del conjunto numérico que aparezca. No obstante, ante un mismo problema, los estudiantes tienden a elegir la operación contraria cuando se cambian los números naturales por racionales, error que Bell et al. (1984) atribuyen a las dificultades para considerar que la estructura del problema es invariable. Estas dificultades pueden derivarse de las contradicciones que generan los modelos implícitos de las operaciones con naturales al introducir los racionales (por ejemplo, considerar que el resultado de una multiplicación es siempre un número mayor que las cantidades multiplicadas), atribuyendo de forma errónea las propiedades de los números naturales a los racionales (González-Forte et al., 2019, 2020; van Hoof et al., 2015).

Estudios previos han mostrado que el tipo de problemas presentados influye sobre el aprendizaje de los contenidos matemáticos (Castañeda et al., 2017); por ello, la tradición china emplea variaciones en los problemas para construir conexiones entre la multiplicación y división de naturales y la multiplicación y división de fracciones (Sun, 2019).

Otros estudios (Bell et al., 1984; De Corte et al., 1988; Empson y Levi, 2011; Levain, 1992) también han mostrado la influencia que posee el tipo de conjunto numérico sobre la dificultad del problema. Los problemas de multiplicación son más sencillos cuando el multiplicador es un número entero que cuando es una fracción o decimal (De Corte et al., 1988; Empson y Levi, 2011). Cuando el multiplicador es una fracción la dificultad varía según se trate de una fracción unitaria o no unitaria, siendo esta última más difícil. Los problemas más difíciles son aquellos cuyas dos variables numéricas son racionales (Empson y Levi, 2011); sin embargo, el cambio de la variable numérica en el multiplicando no supone una dificultad significativa (De Corte et al., 1988; Levain, 1992). En los problemas de división, los estudiantes experimentan dificultades cuando el divisor es superior al dividendo (Bell et al., 1984). La investigación sobre cómo los estudiantes resuelven problemas con fracciones es escasa; no obstante, Bell et al. (1984) mostraron que introducir decimales inferiores a la unidad genera dificultad a los estudiantes.

Nuestro estudio está centrado en la influencia que posee el tipo de conjunto numérico (natural o racional) en los niveles de éxito de los estudiantes cuando resuelven problemas de isomorfismo de medidas y las estrategias utilizadas por los estudiantes desde 5o. curso de Educación Primaria a 2o. curso de Educación Secundaria (10 a 14 años de edad).

1.1 Problemas de isomorfismo de medidas

Los problemas de isomorfismo de medidas (Vergnaud, 1997) son problemas cuya estructura es una proporción entre dos espacios de medida (M1 y M2), cada uno de los cuales contiene dos cantidades.

En estos problemas, una de las cantidades se reduce a una unidad; de modo que –en función de cuál de las otras tres cantidades sea la incógnita– se obtienen tres tipos de problemas (Vergnaud, 1997): multiplicación, división (búsqueda del valor unitario) y división (búsqueda de la cantidad de unidades). No obstante, en esta investigación se utilizará la nomenclatura empleada por Greer (1992) para dichos problemas: multiplicación, división-partitiva y división-medida.

Levain (1992), en estudiantes de 9-11 años, no encontró diferencias significativas en los niveles de éxito en problemas de multiplicación y división de ambos tipos (partitiva y medida). Sin embargo, Bell et al. (1984) mostraron que para estudiantes de 12-13 años los problemas de división-partitiva resultan más sencillos de resolver que los de división-medida.

1.2 Estrategias de resolución

Mulligan (1992), usando problemas de estructura multiplicativa con números naturales, realizó un estudio longitudinal de dos años donde observó el procedimiento empleado por estudiantes de 7-8 años. Los resultados permitieron agrupar los procedimientos/estrategias en tres grupos: modelización con conteo; estrategias de conteo, aditivas y sustractivas y; aplicación de hechos numéricos conocidos y derivados de la adición y multiplicación. Al inicio del estudio, los participantes priorizaban el modelado con conteo en los problemas de división, aunque en problemas de división-partitiva también usaban estrategias aditivas. No obstante, en el tramo final del estudio tendían a emplear hechos numéricos derivados. Por otro lado, en los problemas de multiplicación las estrategias de conteo y hechos numéricos aditivos utilizadas inicialmente también fueron remplazadas por hechos numéricos derivados de la multiplicación en el tramo final del estudio.

Usando números naturales con alumnado de 6 a 12 años, Ivars y Fernández (2016) mostraron la evolución y el tipo de estrategias usadas en la resolución de problemas de estructura multiplicativa. Las estrategias identificadas fueron: modelización-gráfica, conteo, uso de hechos numéricos, uso del algoritmo y multiplicación como suma de sumandos iguales. En cuanto a la evolución, se observó que el uso del algoritmo (correcta o incorrectamente) remplaza al uso de varias estrategias de modelización y conteo, a medida que se avanza en el sistema educativo. Asimismo, Schoenfeld et al. (2017a, 2017b) han mostrado la evolución del pensamiento en el uso de estrategias en los problemas tanto de multiplicación como de división: estrategias no multiplicativas (p. ej. algoritmo incorrecto), estrategias aditivas tempranas (p. ej. conteo/correspondencia uno a uno), estrategias aditivas (p. ej. adición/sustracción repetida), estrategias transicionales tempranas (p. ej. conteo a saltos), estrategias transicionales (p. ej. modelo de área, búsqueda del cociente por ensayo-error a través de la operación inversa o una introducción al algoritmo de la división) y estrategias multiplicativas (p. ej. hechos numéricos o el algoritmo de la división).

Centrada en los problemas de división-medida y división-partitiva, Downton (2009) mostró que las estrategias más utilizadas por estudiantes de 8-9 años eran hechos numéricos conocidos y derivados. Además, Downton mostró que las estrategias de conteo se usaron más en los problemas de división-medida y la adición/sustracción repetida sólo en los problemas de división-partitiva. La modelización directa fue utilizada de manera similar en ambos problemas.

En cuanto a las estrategias usadas en resolución de problemas de estructura multiplicativa con fracciones, los estudios realizados son escasos (Empson y Levi, 2011; Greer, 1992). En este sentido, Empson y Levi distinguen cuatro tipos de estrategias: modelización directa, adición repetida, agrupamiento y combinación, y estrategias multiplicativas.

Además, se han identificado errores en el alumnado de Primaria al afrontar problemas de división: de tipo procedimental o dificultades para interpretar el resto. Los errores de tipo procedimental se vinculan tanto a los números naturales, al no considerar el valor de posición olvidando añadir ceros al cociente, como a las fracciones, al no realizar correctamente el producto cruzado (Greer, 1992). En cuanto a la dificultad para interpretar el resto, podría estar asociada a la creencia de que la solución a un problema es directamente el resultado de la operación (Callejo y Vila, 2009).

Estudios previos (p. ej. Bell et al., 1984; Levain, 1992) se han enfocado en analizar la influencia del conjunto numérico en la resolución de problemas de estructura multiplicativa utilizando naturales y decimales como conjuntos numéricos. Otros estudios (p. ej. Ivars y Fernández, 2016; Mulligan, 1992) se han centrado en analizar qué estrategias de resolución utilizaban los estudiantes en esta tipología de problemas; no obstante, el conjunto numérico utilizado en los problemas de estos estudios ha sido principalmente de números naturales. El objetivo de esta investigación es analizar cómo los estudiantes de Primaria y Secundaria resuelven problemas de isomorfismo de medidas con naturales y fracciones, analizando tanto el nivel de éxito como el tipo de estrategias utilizadas. Además, se analiza la evolución de 5o. de Primaria a 2o. de Secundaria (10-14 años). Las preguntas de investigación fueron:

• ¿Qué nivel de éxito obtienen los estudiantes de 10 a 14 años en problemas de isomorfismo de medidas con naturales y fracciones?
• ¿Qué estrategias utilizan los estudiantes en la resolución de cada tipo de problema con naturales y fracciones?

En este estudio exploratorio-descriptivo participaron 403 estudiantes de educación Primaria y Secundaria de tres centros diferentes de España de tres centros diferentes. La Tabla 1 muestra la distribución de los participantes:

De acuerdo al currículo español el alumnado se inicia en la multiplicación con naturales en 2o. curso de Primaria y en la división en 3o.; en cuanto a las fracciones, se introducen en 3o. con el significado de parte-todo. A partir de este curso se introducen también los algoritmos con fracciones.

Para la recogida de datos se diseñó un cuestionario con nueve problemas (ver Tabla 2): tres de multiplicación (M), tres de división-partitiva (DP) y tres de división-medida (DM). En cada tipo de problema se varió el conjunto numérico utilizado: un problema con números naturales (N) y dos problemas con fracciones; uno con fracciones unitarias (FU) y otro con fracciones propias no unitarias (FP). En los problemas de división-medida se pregunta por el cociente y por la interpretación del resto.

Los participantes dispusieron de 50 minutos para resolver el cuestionario de manera individual en su aula habitual del grupo-clase. Las únicas instrucciones que recibieron fueron que debían justificar sus respuestas y que no podían utilizar calculadora ni dispositivos electrónicos.

2.1 Análisis de los datos

El análisis se realizó en dos fases. En la primera fase se analizaron los niveles de éxito de los estudiantes por curso en cada tipo de problema, y en la segunda fase se analizaron las estrategias correctas e incorrectas usadas en la resolución.

Fase 1. Análisis de los niveles de éxito. En cada problema se codificaron con un “1” los procedimientos correctos, sin considerar los errores de cálculo, y con un “0” los procedimientos incorrectos (Tabla 3).

Fase 2. Análisis de las estrategias de resolución. En segundo lugar se analizaron los procedimientos utilizados identificando estrategias tanto correctas como incorrectas. Inicialmente se realizó un análisis conjunto por parte de tres investigadores, de una muestra de respuestas a los diferentes problemas, para generar descriptores de las estrategias que parecían estar utilizando los estudiantes en cada problema. Según se analizaban nuevas respuestas, dichos descriptores se iban refinando. Este proceso se repitió para cada problema y, por último, en conjunto, se consideraron las estrategias de todos los problemas para observar si existían evidencias de solapamiento entre ellas.

Este proceso de análisis permitió identificar seis estrategias de resolución correctas y siete estrategias incorrectas. A continuación, se detallan las características de cada una de ellas.

Estrategias correctas:

Algoritmo. Respuestas en las que los estudiantes emplean un algoritmo correcto. Se incluyen las respuestas en las que el estudiante opera con los números del enunciado (Figura 1) o realiza una conversión previa al uso del algoritmo (Figura 2).

Estrategia gráfica. Resolución usando una representación gráfica. Se incluyen representaciones gráficas que ofrecían el resultado tanto en registro simbólico como en registro gráfico. Por ejemplo, en la Figura 3 el estudiante encuentra una parte de otra parte gráficamente en el problema M-FU. Para ello representa 2/3 gráficamente, especificando la región destinada al cultivo de verduras. Enseguida, representa 1/5 (parte destinada a tomates). Por último, identifica que la parte común en ambas representaciones es la respuesta al problema: 2/15 (registro simbólico).

En la Figura 4 el estudiante marca 2/5 en el dibujo realizado, pero no ofrece el resultado en registro simbólico.

Algoritmo y estrategia gráfica. Se trata del uso combinado de ambas estrategias para resolver el problema. La Figura 5 muestra cómo el estudiante emplea el algoritmo de la multiplicación para calcular 5 packs de 6 latas y, a su vez, representa la situación con un dibujo.

Sumas/restas sucesivas. Uso de sumas o restas sucesivas para resolver el problema. Se incluyen tanto las sumas/restas realizadas con los números del enunciado como aquellas precedidas por una conversión (fracción – expresión con coma). Por ejemplo, el estudiante de la Figura 6, a partir de los 3/4 de kilo de azúcar sobrantes, va restando 3/10 de kilo (el azúcar de un bizcocho). Tras realizar dos restas, resuelve que pueden elaborarse 2 bizcochos y que el resultado de la última operación es la cantidad de azúcar sobrante, ya que 3/20 es un número inferior a 3/10.

Regla de tres usada correctamente. Se relacionan los datos multiplicativamente igualando los productos cruzados. En la Figura 7 el estudiante identifica una situación de proporcionalidad directa y aplica el algoritmo de productos cruzados, x=(5∙6)/1=30 latas.

Hechos numéricos. Uso del conocimiento de las tablas de multiplicar. Por ejemplo, usar la tabla de multiplicar del 6 para resolver el problema DM-N. Como 6 habitaciones de 6 estudiantes son 36 huéspedes y 7 habitaciones de 6 estudiantes son 42, para albergar 40 estudiantes se necesitarán 7 habitaciones (ver Figura 8).

En cuanto a las estrategias incorrectas identificadas:

Algoritmo incorrecto. Uso de un algoritmo incorrecto en el problema. Por ejemplo, utilizar el algoritmo de la multiplicación en una situación de reparto (Figura 9).

Algoritmo correcto sin finalizar. Se usa un algoritmo correcto, pero el procedimiento de cálculo es incorrecto. Por ejemplo, en la Figura 10 el estudiante resuelve la multiplicación de fracciones como producto cruzado.

Interpretación errónea del resto. Esta estrategia engloba las respuestas que no consideran, o no interpretan adecuadamente, el resto. Por ejemplo, al resolver el problema DM-FP el estudiante ofrece como respuesta que el azúcar sobrante es 6/12, es decir, 1/2; sin considerar que la fracción restante es una parte del divisor: 1/2 de 3/10, es decir, 3/20 (Figura 11).

Interpretación errónea del resultado. Respuestas en las que, a pesar de emplear una estrategia correcta, el estudiante no interpreta adecuadamente el resultado obtenido. Por ejemplo, para resolver el problema DM-FU el estudiante debe atender a la fracción resultante como número mixto: 28/8=3+4/8= 3+1/2, siendo el cociente 3 y el resto 1/2 de 1/4. Sin embargo, la Figura 12 muestra cómo el estudiante no interpreta adecuadamente el resultado, pues ofrece como resultado la fracción resultante y como resto la fracción resultante convertida a expresión con coma.

Sumas/restas sucesivas sin finalizar. Uso de sumas/restas sucesivas, pero el resolutor presenta dificultades al sumar/restar sin reducir las fracciones a común denominador. La Figura 13 muestra que el estudiante resta sucesivamente sin antes reducir las fracciones a común denominador. Además, emplea el algoritmo de la sustracción erróneamente (resta numeradores y denominadores).

Regla de tres usada incorrectamente. Se relacionan los datos de forma multiplicativa de forma errónea, es decir, no se igualan los productos cruzados correctamente. Por ejemplo, en la Figura 14 el estudiante no identifica el esquema propio de un problema de división-partitiva, pues no asocia que 3/4 de litro son para 4 personas y que la incógnita del problema es qué fracción de litro obtendrá cada persona, es decir, la igualdad de los productos cruzados sería: 1/4=x/(3/4)

Blanco/sin sentido. Respuestas en blanco, que ofrecen sólo el resultado u operaciones/procedimientos sin sentido atendiendo a la estructura y/o contenido del problema.

Los resultados se presentan en dos secciones. En la primera se muestra el nivel de éxito global y su evolución desde 5o. de Primaria a 2o. de Secundaria. En la segunda se presentan los resultados obtenidos en cuanto al uso y la evolución de estrategias de resolución, correctas e incorrectas, utilizadas por los estudiantes.

3.1 Niveles de éxito en la resolución de problemas

La Tabla 4 muestra los porcentajes globales de respuestas correctas por curso y tipo de problema. Los estudiantes tuvieron más éxito en los problemas de multiplicación, seguidos de los de división-partitiva y, por último, los de división-medida (a excepción de 1o. de Secundaria). En cuanto a la evolución, el nivel de éxito aumenta progresivamente hasta 1o. de Secundaria en los tres tipos de problemas. Sin embargo, en la transición de 1o. a 2o. curso este aumento sólo se produce en los problemas de división-medida. En general, se observan niveles de éxito bajos en todos los cursos, particularmente en 2o., que no logra el 40% de éxito en ninguno de los tres tipos de problemas.

La Tabla 5 muestra el nivel de éxito por curso y problema considerando las cantidades involucradas. Los problemas con números naturales tuvieron más éxito que con fracciones en cada tipo de problema. Estas diferencias son especialmente llamativas en los problemas de multiplicación, en los que, con números naturales, se logra un porcentaje de éxito igual o superior al 95% en todos los cursos, mientras que con fracciones se obtienen porcentajes entre un 0% y 14.2%.

3.2 Estrategias de resolución por problema y curso

Estrategias correctas:

La Tabla 6 muestra los porcentajes de uso de las estrategias correctas identificadas en cada tipo de problema por curso. A partir de 6o. curso el algoritmo es la estrategia más utilizada, globalmente, en los tres tipos de problemas. Los estudiantes utilizaron en menor medida otras estrategias. En los problemas de división-medida el uso de sumas/restas sucesivas adquiere presencia en todos los cursos; mientras que en los problemas de división-partitiva se utiliza con más frecuencia la estrategia gráfica, siendo la más utilizada en 5o. curso. En los problemas de multiplicación la estrategia gráfica adquiere menor relevancia que en los otros tipos de problemas.

La Figura 15 permite observar las diferencias en el uso de estrategias para cada problema considerando las cantidades involucradas: naturales o fracciones. En los problemas de multiplicación con fracciones propias (M-FP) se usa la estrategia gráfica, mientras que con fracciones unitarias (M-FU) y naturales (M-N) la estrategia más usada es el algoritmo. En los problemas de división-partitiva con fracciones (DP-FU y DP-FP) se utiliza el algoritmo; en cambio, la estrategia más utilizada con naturales (DP-N), en todos los cursos, es la estrategia gráfica, aunque también se utiliza el algoritmo. Finalmente, en los problemas de división-medida con fracciones (DM-FU y DM-FP) se usan con mayor frecuencia las sumas/restas sucesivas, mientras que con naturales (DM-N) se usan las estrategias algoritmo y hechos numéricos.

Los resultados obtenidos indican que los estudiantes consideran distintas estrategias correctas de resolución para problemas con estructura idéntica. Es decir, estos resultados parecen sugerir que los estudiantes tienen dificultades para reconocer la estructura de la situación y aplicar estrategias de resolución que les daban buenos resultados con naturales a situaciones en las que se incluyen fracciones. En los problemas de multiplicación y división-medida con naturales (M-N y DM-N) se reconoce la situación a modelar y se utiliza mayoritariamente el algoritmo; sin embargo, en las situaciones con fracciones esta estrategia se utiliza mayormente en los problemas de multiplicación con fracciones unitarias (M-FU). En el resto de los problemas, con fracciones de estos dos tipos (M-FP, DM-FU y DM-FP), los estudiantes tienden a utilizar estrategias correctas de modelización (estrategia gráfica) y aditivas (sumas/restas sucesivas) que les ayudan a resolver la situación. Por lo que respecta a los problemas de división-partitiva, la situación con naturales (DP-N) generó un uso mayoritario de estrategias de modelización (estrategia gráfica) que los estudiantes tampoco lograron extender a las situaciones con fracciones (DP-FU y DP-FP). A continuación, se muestran las estrategias erróneas más utilizadas por los estudiantes para intentar explicar los resultados obtenidos en cuanto a niveles de éxito.

Estrategias incorrectas:

La Tabla 7 muestra los porcentajes de uso de las estrategias incorrectas en cada tipo de problema por curso. De manera general, las estrategias incorrectas con mayor presencia en cada tipo de problema son el uso de algoritmo incorrecto o respuestas en blanco/sin sentido. Sin embargo, se observa la aparición de algunas estrategias incorrectas, aunque en menor medida, vinculadas a un tipo de problema concreto. En los problemas de división-partitiva destaca el uso del algoritmo correcto sin finalizar, mientras que en los problemas de división-medida se emplea la interpretación errónea del resto e interpretación errónea del resultado.

La Figura 16 muestra las diferencias en el uso de estrategias en un mismo tipo de problema según las cantidades involucradas: naturales o fracciones. En los problemas de multiplicación la única diferencia entre el problema con naturales (M-N) y los problemas con fracciones (M-FU y M-FP) es que, en estos últimos, en ocasiones aparece la estrategia algoritmo correcto sin finalizar, indicando que tienen dificultades multiplicando fracciones.

En cuanto a los problemas de división-partitiva con fracciones (DP-FU y DP-FP) se observa el uso de algoritmo correcto sin finalizar, mientras que con naturales (DP-N) aparecen estrategias como interpretación errónea del resto e interpretación errónea del resultado; aunque siempre con menor frecuencia que las respuestas en blanco/sin sentido. Por último, en los problemas de división-medida con fracciones (DM-FU y DM-FP), además de las respuestas en blanco/sin sentido o algoritmo incorrecto, destaca el uso de algoritmo correcto sin finalizar e interpretación errónea del resultado. En cambio, con naturales (DM-N) la interpretación errónea del resto es la estrategia incorrecta más usada.

Estos resultados sugieren que las dificultades de los estudiantes con las situaciones con naturales parecen vinculadas a una falta de comprensión de las situaciones que les empuja a dejar las respuestas en blanco o bien a utilizar un algoritmo incorrecto. Además, en los problemas de división aparecen dificultades con la aparición de interpretación errónea del resultado o del resto. En los problemas con fracciones se repite la situación, aunque en este caso emerge la estrategia algoritmo correcto sin finalizar en la que los estudiantes, a pesar de reconocer la situación y usar un algoritmo correcto, muestran dificultades al operar.

3.3 Evolución de las estrategias

La Figura 17 muestra la evolución del uso de estrategias correctas e incorrectas desde 5o. de Primaria hasta 2o. de Secundaria.