Palabras clave: Matemáticas, resolución de problemas, procesos cognitivos, examen.

Uno de los autores clásicos sobre los métodos que conducen a la solución de problemas en matemática fue George Pólya. Este autor se basó en su experiencia como matemático al resolver problemas, para sugerir la existencia de etapas generales en este proceso. Sus aportaciones incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven el acercamiento al conocimiento y el desarrollo de estrategias para la solución de problemas.

Pólya, en su libro Cómo plantear y resolver problemas, sugiere seguir cuatro pasos para apoyar a los estudiantes que se proponen resolver problemas matemáticos:

Primero, tenemos que comprender el problema, es decir, ver claramente lo que se pide. Segundo, tenemos que captar las relaciones que existen entre los diversos elementos, ver lo que liga a la incógnita con los datos a fin de encontrar la idea de la solución y poder trazar un plan. Tercero, poner en ejecución el plan. Cuarto, ver atrás una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla (1981, p. 28).

En los últimos 30 años, profesores de matemáticas y matemáticos investigaron las operaciones mentales utilizadas como ejes rectores de los procesos que permiten solucionar problemas matemáticos. Estos resultados enriquecen la investigación multidisciplinaria, donde en forma conjunta, especialistas en lingüística, psicología, neuropsicología generan nuevos puntos de vista sobre los procesos de razonamiento matemático (Davis, 1986).

Existen tres enfoques importantes en la investigación de los procesos de resolución de problemas (Santos Trigo, 1996):

• Investigación de la naturaleza de los problemas matemáticos a resolver.
• Caracterización de los estudiantes que resuelven problemas.
• Caracterización de los ambientes de aprendizaje que permiten que los estudiantes solucionen problemas de manera exitosa.

Para este autor, las cuatro variables importantes identificadas en el proceso de resolución de problemas son:

• La importancia de ideas conocidas, conocimientos de conceptos, de hechos específicos, el “saber qué hacer”.
• El repertorio de estrategias generales y específicas que son capaces de poner en marcha al sujeto en el camino de la resolución de problemas concretos, el “¿cómo hacerlo?”
• El papel del monitoreo o autoevaluación del procedimiento utilizado al resolver un problema. ¿Es correcto lo que hice?, ¿existe otra vía?
• La influencia de los componentes individuales y afectivos de la persona que resuelve el problema.

Para llevar a cabo este análisis es necesario recurrir a diversos métodos de recolección de información. Algunos de ellos tienen como metas identificar patrones, categorías o dimensiones de las estrategias de solución utilizadas por expertos con experiencia en la resolución de problemas (Santos Trigo, 1997).

Muchos expertos afirman que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo muchos problemas. Las personas hábiles en la resolución de problemas dedican mucho tiempo a esta actividad, es por esto que algunas investigaciones centradas en la observación de expertos, identificaron algunos componentes esenciales que influyen en la resolución de ciertas tareas o problemas (Rich, 1983).

Una fuente importante de información sobre la forma en que las personas resuelven problemas matemáticos, es el contacto o la cercanía con estudiantes con una natural inclinación y gusto por esta ciencia. En 2005, con motivo de la Olimpiada Estatal de Matemáticas para el estado de Puebla, México, se conformó un equipo de investigación cuyo propósito era analizar la forma en que los estudiantes preuniversitarios sobresalientes en matemática resolvían problemas.

El objetivo era identificar estrategias generales en la resolución de los problemas planteados en los exámenes de selección de la Olimpiada Estatal de Matemáticas para el estado de Puebla.

La investigación inició con el análisis de las respuestas que estos 91 concursantes presentaron en el examen de selección. Las preguntas se observan en la Tabla I. El examen aborda tres ramas de la matemática: Aritmética, Geometría y Combinatoria, y contiene seis preguntas para resolver en dos días.

Tabla I. Problemas del examen de selección de la Olimpiada Estatal de
Matemáticas del Estado de Puebla

Para resolver el examen, a los 91 estudiantes se les dieron las siguientes indicaciones:

• El tiempo diario máximo de duración del examen será de 4.5 horas.
• Deberás escribir cada problema que resuelvas o intentes, en una hoja diferente.
• Cada hoja que uses deberá tener tu nombre completo y escuela de procedencia.
• En caso de cualquier duda referente al enunciado de alguno de estos problemas, deberás preguntarla por escrito.
• Tienes la primera hora para hacer preguntas.

La recolección de la información se hizo después de la selección de los escritos donde el concursante identificara la incógnita, los datos y la condición del problema y donde propusiera, además, una o varias estrategias de solución. Para esta selección no era relevante que los escritos contuvieran la solución completa.

Posteriormente, se llevó a cabo el análisis, cuyo procedimiento consistió en la descripción verbal de la estrategia, el cálculo de su frecuencia de uso y la observación de la incidencia de la estrategia en la rama de la matemática a la que pertenecía cada uno de los problemas planteados.

Para la valoración de los resultados, se desarrollaron la(s) estrategia(s) propuesta(s) por cada concursante. Se identificaron las etapas de solución hasta llegar a la respuesta completa y se asignaron calificaciones a cada uno de los problemas, de acuerdo con la etapa de avance.

Se analizaron 546 escritos, resultado de la solución de 6 problemas por 91 estudiantes. De estos, sólo en 194 se observó la identificación de la incógnita, los datos y la condición del problema planteado (ver Tabla II).

Tabla II. Frecuencias encontradas en los 546 escritos que evidencian la identificación de la incógnita, los datos y la condición de los problemas planteados

De los 91 concursantes que identificaron la incógnita, los datos y la condición, 42 estudiantes propusieron estrategias que expusieron en 89 escritos (ver Tabla III).

Tabla III. Número de escritos donde se identificaron estrategias
de solución a los problemas planteados

En cuanto a las estrategias, se identificaron las siguientes (Cabañas, 2000):

• Ensayo y error: Se toman números al azar y se va probando, hasta encontrar la solución.
• Usar una variable: Se utiliza cuando se desconoce un dato, apoyándose en la estrategia anterior.
• Buscar un patrón: Consiste en el análisis de un determinado modelo para ver si se observa una regularidad. Es un patrón, que casi siempre sugiere la solución del problema.
• Hacer una lista: Se relacionan todos los posibles resultados y el que cumpla con las exigencias planteadas en el problema, entonces se considera que se tiene la solución. Aquí se utiliza la comprobación para verificar la solución.
• Resolver un problema más simple: Se trata de resolver un problema descomponiendo el problema original en problemas sencillos, de tal manera que al integrarlo se llegue a la solución.
• Hacer una figura: Estrategia que consiste en modelar la situación mediante figuras que incluyen relaciones de lo que se conoce y lo que se busca.
• Usar un razonamiento directo: Es una estrategia cuyo razonamiento se basa en la lógica; su principio es la inducción.
• Usar un razonamiento indirecto: Estrategia cuyo razonamiento está basado en la lógica; su principio es la deducción.

A continuación, en la Tabla IV, se presenta la frecuencia de uso de las estrategias de solución detectadas en cada uno de los seis problemas planteados en el examen.

Tabla IV. Frecuencias de uso de las estrategias de solución detectadas en cada problema planteado en el examen

La Tabla V presenta el número de escritos donde se identificaron estrategias en función de la rama de la matemática involucrada en el examen. Se puede observar que en la rama Combinatoria, los estudiantes propusieron el mayor número de vías de solución.

Tabla V. Número de escritos donde se identificaron estrategias en función de las ramas
de la matemática involucradas en el examen

La Tabla VI presenta el número de escritos que contienen solución completa en cada uno de los problemas planteados en el examen. Se puede observar que dentro de la rama Combinatoria se encontraron seis escritos, en Aritmética 13 y en Geometría, siete.

Tabla VI. Número de escritos que reportan solución completa en cada uno
de los seis problemas planteados en el examen

En esta investigación se encontró que únicamente 35 % de los escritos analizados cuentan con evidencias de que los concursantes comprendieron el problema correspondiente. Este resultado es congruente con lo reportado por el Programa de Indicadores de Evaluación Educativa, publicados por el Observatorio Ciudadano de la Educación el 4 de diciembre de 2000. En este programa participaron 28 países y México ocupó el penúltimo lugar en comprensión de textos (Aguilar y Cepeda, 2004).

De los 42 estudiantes que propusieron vías de solución, ocho habían recibido entrenamiento olímpico en años anteriores y generaron 37 de los 89 escritos donde se identificaron estrategias. Este dato resulta significativo porque representa 41% de los escritos con estrategia, lo que refleja la maduración del pensamiento formal en los estudiantes, logrado a través de los cursos de entrenamiento que año con año se realizan en la Benemérita Universidad de Puebla para la Olimpiada Nacional.

En cuanto a la relación entre el análisis de las estrategias generales y las ramas de la matemática involucradas en los problemas del examen, los resultados demuestran que para la Geometría se usó una sola estrategia general. En sus 21 escritos, los evaluadores observaron las siguientes etapas de avance: en 12 escritos hay reconocimiento de las figuras; hay tres escritos donde se evidencia el descubrimiento de las propiedades de las figuras, y en seis escritos se observa la solución completa. En Combinatoria y Aritmética no se observa el predominio de una estrategia general.

Las diferentes formas de resolver los seis problemas planteados en el examen se presentaron a los 27 estudiantes aceptados en el curso estatal de entrenamiento para la Olimpiada Nacional, realizado en la ciudad de Puebla del 15 de junio al 13 de septiembre de 2005. En las dos primeras sesiones se discutieron las ventajas y desventajas, lo que permitió evaluar de forma colectiva la eficiencia de las estrategias propuestas para cada uno de los seis problemas del examen de selección.

Los escritos del evaluador que incluyen el desarrollo de las estrategias propuestas por los concursantes y la identificación de las etapas de avance, hasta llegar a la solución completa, inauguran el banco de respuestas de los problemas de la Olimpiada Estatal de Matemáticas del Estado de Puebla, que se enriquecerá en la medida en que avance este proyecto de investigación.

Los nuevos objetivos del proyecto, es avanzar en el análisis de las variables del “proceso de resolución de problemas”, ya señalado, pues resulta importante investigar la evolución cognitiva del estudiante durante sus experiencias de aprendizaje (Santos Trigo, 2006). El alcance de los objetivos señalados en la tabla VII, aportará elementos que permitirán sistematizar los cursos de entrenamiento estatal para la Olimpiada Nacional, cuyos propósitos principales son preparar a los estudiantes para el concurso nacional y enriquecer al Sistema de Educación Superior del estado de Puebla con estudiantes interesados en cursar carreras científicas, con posibilidades reales de desarrollar de manera exitosa el razonamiento hipotético–deductivo.

Tabla VII. Objetivos propuestos que permitirán analizar las
variables del proceso de resolución de problemas

Alarcón, J., Arriaga, A., Bonilla, H. y Rosas, R. (1994). Secuencia y Organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria. México: Secretaría de Educación Pública.

Cabañas Sánchez, M. G. (2000). Los problemas… ¿Cómo enseño a resolverlos? México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Davis, R. B. (1986). Learning mathematics: The cognitive science approach to mathematics education. New York: Ablex.

Pólya, G. (1981). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.

Rich, E. (1983). Artificial intelligence. New York: McGraw-Hill.

Santos Trigo, L. M. (2006). Aportaciones de la investigación en Educación Matemática a la Instrucción. Números 63, 25-40.

Santos Trigo, L. M. (1996). Consideraciones metodológicas en la investigación en educación matemática. Revista Latinoamericana de Psicología, 28 (3), 533-546.

Santos Trigo, L. M. (1997). Principios y métodos de la resolución de problemas. México: Grupo Editorial Iberoamérica.