Palabras clave: Enseñanza de las matemáticas, aprendizaje basado en problemas.

Para la variable independiente se consideraron dos estados, es decir, dos modos de estructuración de los contenidos: el primero, por medio de problemas y el segundo, siguiendo el procedimiento de estructuración propia de la formalización de los conocimientos matemáticos ya logrados.

La característica eficiencia de los conocimientos se cuantificó por medio de una escala con tres categorías o niveles: bajo, medio y alto.

El término eficiencia de los conocimientos matemáticos (relativos a un programa específico) de un estudiante fue asumido en la investigación como el desarrollo de habilidades y hábitos necesarios para reconocer, en una situación dada, las condiciones adecuadas para el empleo de un modelo matemático determinado, adaptar este modelo, desarrollar los procedimientos formales de cálculo para encontrar la “solución cuantitativa” y, finalmente, hacer la interpretación conveniente de las soluciones halladas.

El estudio se realizó, con la comparación de los efectos de ambas estructuras sobre la eficiencia de los conocimientos que alcanzan los estudiantes. El trabajo científico se orientó a responder, al menos en forma preliminar, la pregunta: ¿existe diferencia en la eficiencia de los conocimientos matemáticos que alcanzan los alumnos cuando éstos son sometidos a una organización de los conocimientos siguiendo la lógica de la exposición formal y otra organización alternativa de los conocimientos mediante problemas?

Para responder a la pregunta científica se realizó una experiencia con los dos grupos de primer año de la carrera antes mencionada, en la Facultad Agroforestal de la Universidad de Guantánamo, durante el segundo semestre del curso 2001-2002. La experiencia constó de dos etapas, las cuales se estructuraron en correspondencia con las dos variantes seleccionadas. Al final de cada período, se realizaron mediciones de la eficiencia de los estudiantes.

Los resultados de la experiencia aportaron elementos que aproximan a una demostración de la hipótesis: la organización por problemas contribuye a que los estudiantes alcancen conocimientos matemáticos eficientes para su desempeño profesional.

El objetivo de la investigación fue comprobar que en el trabajo docente de una asignatura matemática la eficiencia de los conocimientos alcanzados por los alumnos es mayor cuando el contenido se estructura en el programa por problemas, que cuando se estructura mediante la lógica de la exposición de los conocimientos matemáticos logrados.

La estructuración de los conocimientos en el programa de la asignatura Matemática II, bajo la lógica de la exposición formal de los conocimientos y por problemas, producen iguales efectos en la eficiencia de los conocimientos que alcanzan los estudiantes.

b) Hipótesis alternativa

La estructura de los conocimientos por problemas en el programa de la asignatura Matemática II tiene una mayor influencia en el nivel de eficiencia que alcanzan los estudiantes, que la estructura que sigue la lógica de la exposición.

La asignatura seleccionada fue Matemática II, la cual forma parte de la disciplina Matemática.1

La experiencia se llevó a cabo en el trimestre febrero-abril del 2002 y duró ocho semanas; pero ninguno de los estudiantes sabía que se estaba desarrollando la experiencia.

En el primero de los dos momentos de la experiencia, el contenido tratado fue Extremos (de funciones reales con una y dos variables) y trazado de curvas, con una organización mediante problemas.

Para el segundo momento, se seleccionó el contenido Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden y las EDO lineales de segundo orden, con coeficientes constantes, homogéneas y no homogéneas. En este caso, la variante de estructura aplicada fue la exposición formal de los conocimientos matemáticos.

Se debe tomar en cuenta que en la experiencia cada grupo se comparó consigo mismo en el momento del análisis de las mediciones. La irreversibilidad de los aprendizajes hace que la eficiencia de los conocimientos alcanzados con la segunda estructura se vea influenciada por la eficiencia de los conocimientos derivados del trabajo con la primera. De aquí se desprende que los niveles de eficiencia que produjo en los estudiantes el trabajo con las EDO (contenido estructurado con la lógica de la exposición de los conocimientos matemáticos, como resultados) estuvieron afectados por la eficiencia de los aprendizajes que se produjeron durante el trabajo con las aplicaciones del cálculo diferencial (extremos y trazado de curvas en el plano; contenido estructurado por medio de problemas).

Para los fines de la prueba, la secuencia elegida para el trabajo con las estructuras es desfavorable, dado que crea condiciones para que la hipótesis nula tenga cumplimiento en lugar de ser rechazada. Luego, en este caso, el rechazo de la hipótesis nula aumenta la credibilidad del resultado: “aceptar la hipótesis alternativa”.

Los grupos fueron atendidos por un mismo profesor, y la variable independiente fue la estructuración del sistema de conocimientos en el programa de la asignatura.

La variable dependiente seleccionada fue la eficiencia de los conocimientos alcanzados por los alumnos.

El procedimiento por problemas, conforme se ha concebido, es aplicable a cualquiera de los niveles organizativos del proceso docente de una carrera (una disciplina, una asignatura o un tema).

Al procedimiento de estructuración del sistema de conocimientos mediante problemas y al sistema generado por este procedimiento se han denominado, respectivamente: procedimiento didáctico de la propiedad de solubilidad y sistema de relaciones de solubilidad.

El procedimiento didáctico de estructuración sistémica de los conocimientos (Guerrero, 2001) está basado en una concepción dialéctica de los sistemas. En este enfoque, el estudio del sistema se realiza dando a conocer el comienzo (la forma elemental inicial del todo) y las leyes que determinan la génesis y el desarrollo del sistema.

En el procedimiento que se analiza, el comienzo viene dado por la clase de problemas generadores (red generadora) del conocimiento programado. Dichos problemas expresan la necesidad de los nuevos conocimientos y, a la vez, son portadores de las relaciones (de solubilidad) entre los conocimientos teórico-matemáticos que son objeto de estudio en una asignatura y sus aplicaciones. En otras palabras, mediante la clase de problemas “generadores” se ponen al descubierto: las relaciones entre el conocimiento en uso y las demandas de la práctica que exigen nuevos conocimientos matemáticos. Lo que pudiera justificar al término “relaciones de solubilidad”.

Desde el punto de vista lógico gnoseológico en cualquiera de los tres niveles organizativos del proceso docente de una carrera: disciplina, asignatura o tema, el procedimiento didáctico de la propiedad de solubilidad tiene por sustento la comprensión de que se debe partir de las necesidades, como condición imprescindible e insoslayable para explicar los actos del hombre. Así lo afirma Federico Engels (1982) en su obra Dialéctica de la naturaleza.

Si aceptamos que los problemas cognoscitivos expresan necesidades para hallar nuevos cocimientos, entonces, los problemas representan puntos de partida idóneos para explicar el surgimiento de los conocimientos en el proceso docente, con lo cual se potencia el aprendizaje de tales conocimientos y el de las relaciones que existen entre los problemas y los conocimientos a ellos asociados, en el sentido de servir los últimos para resolver los primeros.

Parece claro que la aplicación del procedimiento de la propiedad de solubilidad como estrategia didáctica para estructurar el sistema de conocimientos de una asignatura de matemáticas, presupone de manera implícita o explícita una concepción “no apriorística” del origen de los objetos del conocimiento.2

Los vínculos del conocimiento matemático con el desarrollo económico y social de la humanidad pueden producir efectos de motivación para el estudio de la asignatura, sobre todo si se seleccionan convenientemente dentro de la clase de problemas generadores, aquéllos vinculados con la profesión en cuya carrera se inserta la asignatura (o la disciplina). Marie Lise Peltier (1993) en un análisis de la trayectoria de la didáctica de las matemáticas en Francia expresó la conveniencia (por su función educativa) de que las “situaciones de aprendizaje” combinen el doble carácter que tienen los conocimientos matemáticos: instrumento (en la resolución de un problema) y objeto (del saber). En tal sentido, Peltier argumentó que un conocimiento desempeña primeramente el papel de instrumento en la resolución de un problema y sólo entonces puede devenir el objeto del saber.

En la red generadora los problemas se reparten en clases atendiendo el nivel de generalidad con que expresan las necesidades de los nuevos conocimientos. Por su grado de generalidad, pueden ser: problemas singulares enunciados en forma de tareas concretas, problemas particulares que sintetizan en calidad de generalización los rasgos comunes de los problemas singulares de una clase y, finalmente, los llamados problemas generales que son generalizaciones de grupos de problemas particulares.

Los conceptos y procedimientos que se incorporan como nuevas herramientas de solución de un problema particular se establecen con el requisito de invariabilidad, lo que significa una independencia en relación con los sujetos singulares que los utilizan en la solución de la tarea; también, respecto de las propiedades específicas del objeto de cada uno de los problemas singulares que forman parte de la clase.

El análisis que conduce a la abstracción y especialmente la amplia utilización de la analogía y la idealización hacen posible establecer el problema particular asociado a cada familia o clase de problemas singulares. Cada uno constituye una generalización de las necesidades cognoscitivas esenciales, planteadas en una familia de problemas singulares (Guerrero, 2001).

El método de solución de un problema particular es adecuado para resolver cualquiera de los problemas singulares que subyacen en su respectiva clase, aunque el método precise de ciertas adaptaciones para los casos concretos.

La tríada conocimiento en uso-nuevas necesidades cognoscitivas-nuevos conocimientos que marca en sentido general el camino del desarrollo del conocimiento, tiene su manifestación en la génesis y el desarrollo del sistema de los contenidos que se programan en el proceso de aprendizaje. Los subsistemas de problemas particulares son portadores de las contradicciones entre la tesis (conocimiento en uso) y la antítesis (las nuevas necesidades). Por su parte, la síntesis viene dada por las teorías que sistematizan los nuevos conocimientos.

En la Tabla I se resumen los problemas singulares y particulares planteados y los componentes utilizados del modelo didáctico de la teoría, en la implementación de esta concepción de estructura sistémica de los conocimientos en el tema Extremos y trazado de curvas, seleccionado del programa de Matemática II.

Tabla I. Resumen de una de red de problemas para el tema Extremos de
funciones (de una y dos variables) y trazado de curvas

Para evaluar la eficiencia de los conocimientos en cada uno de los momentos de la experiencia se aplicó una prueba pedagógica, la cual poseía tres secciones designadas como A, B y C. En la sección A se incluyeron ejercicios formales, es decir, aquellos cuyo enunciado indica las operaciones matemáticas que se deben realizar para encontrar la solución. En la sección B se plantearon ejercicios con textos, en los cuales aparecía una “palabra clave” que posibilitó al estudiante reconocer el modelo matemático de solución. La tercera y última sección, la C, contenía ejercicios en forma de problemas, para cuya solución el estudiante debía decidir mediante un análisis de la situación planteada, cuál(es) modelo(s) matemático(s) era conveniente utilizar. En la solución de los ejercicios de la sección C también se le exigió realizar la adecuación del modelo a las circunstancias concretas planteadas; finalmente, resolverlo e interpretar la solución.

La medición de la eficiencia se realizó según las normas de calificación que se presentan en la Tabla II.

Tabla II. Normas de calificación para las tres secciones de la prueba pedagógica
aplicada para evaluar la eficiencia de los conocimientos
en cada etapa de la experiencia

El puntaje final para la cuantificación de la eficiencia de los conocimientos se realizó utilizando una escala aditiva, con la cual se ponderó con 2 el total de puntos correspondientes a la sección C.

Finalmente, para medir la eficiencia de los conocimientos que alcanzaron en cada etapa los alumnos, se consideraron las siguientes categorías: (A) de 6 a 7, nivel alto; (M) de 3 a 5, nivel medio; (B) de 0 a 2, nivel bajo.

Tabla III. Niveles de eficiencia de los conocimientos logrados
por los alumnos en ambas estructuraciones
(B = 0 a 2, nivel bajo; M = 3 a 5, nivel medio; A = 6 a 7, nivel alto)

Utilizando la prueba de los signos, encontramos que hubo 23 signos menos, 3 signos más y 14 casos en que no hubo cambios.

En la hipótesis nula se ha asumido que la probabilidad de obtener un signo menos es p = 0.05 contrariamente, en la hipótesis alternativa unilateral la probabilidad se supone que es p > 0.50. Como hemos analizado, se obtuvieron 23 éxitos en 26 pruebas. Al proceder a aproximar la curva normal a la distribución binomial, obtuvimos z = 3.92, y puesto que excede al valor crítico de 2.33 (para una prueba unilateral con un nivel de significación 0.01) se pudo rechazar la hipótesis de nulidad y aceptar la alternativa.

La estructuración de los conocimientos matemáticos en los programas para la formación de profesionales, siguiendo la lógica de la exposición de los conocimientos ya logrados, sólo refleja uno de los dos segmentos del real camino del conocimiento, ya que la presentación del sistema de conocimientos por medio de la exposición sistemática de la ciencia matemática omite el análisis de la génesis y el desarrollo de los nuevos conocimientos; y deja oculto, en muchos casos, la necesidad del surgimiento de los conocimientos y los recursos de solubilidad que aportan las teorías en el procesos de su aplicación en la solución de las clases de problemas.

Por su parte, la estructuración de los conocimientos matemáticos mediante problemas en el programa de la asignatura Matemática II de la carrera de Ingeniería Agronómica modela la lógica hipotético-deductiva y favorece la de la actuación del profesional en la solución de los aspectos cuantitativos de las situaciones problemáticas que se presentan en la correspondiente esfera de actuación.

Guerrero, E. (2001). Una variante para la estructuración del contenido de la disciplina. Análisis Matemático de la carrera Matemática Computación en los institutos superiores pedagógicos. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Guantánamo, Guantánamo, Cuba.

Peltier, M. L. (1993). Una visión general de la didáctica de las matemáticas en Francia. Revista Educación Matemática, 5 (2), 4-10.